[興倫智能課堂] 勻速圓周運動

圓周運動模擬程式

本節會探討物體沿着圓形路徑的運動。考慮某玩具車圍繞一個半徑為 \(R\) 的圓以勻速率 \(v\) 作逆時針方向運動，如如示。

【線速率與角速率】

設玩具車完成一圈所花時間為 \(T\)，\(T\) 就是運動的週期 (period)。

認識角速率

由上方活動可知線速率 \(v\) (linear speed) 與角速率 \(\omega \) (angular speed，另見下一節) 的關係：

\(v=R\ \omega \)

其中 \(\omega ={2\pi }/{T}\;\)。角速率的單位是 \(\text{rad}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。

【圓周運動的性質】

勻速圓周運動中的速度與加速度

物體在圓形軌道上進行勻速圓周運動，其加速度稱為向心加速度 (centripetal acceleration)：

\(\displaystyle{{{a}_{c}}=\frac{{{v}^{2}}}{R}=R\ {{\omega }^{2}}}\)

圓周運動中，速度與加速度的大小和方向

玩具車圍繞一個半徑為 \(R\) 的圓運動

例子

試比較下列兩種情況的加速度：

半徑為 \(2.0 \text{ m}\) 的「氹氹轉」以固定速率轉動，每 \(3.0\text{ s}\) 會轉動一圈。男孩站在「氹氹轉」邊緣（）所擁有的加速度；
一名在赤道上的人，因地球自轉所擁有的加速度。（地球的半徑約為 \(6.4 \times 10^{6} \text{ m}\)）

【題解】

你可根據下方指示，先在模擬程式中設定的情境，演示男孩 / 赤道上的人的運動：

演示物體運動

由於「氹氹轉」與地球均以固定速率轉動，加速度等於向心加速度：

\(\displaystyle{{{a}_{c}}=R\ {{\omega }^{2}}=R{{\left( \frac{2\pi }{T} \right)}^{2}}}\)

「氹氹轉」的情況，代入 \(R = 2.0 \text{ m}\) 和 \(T = 3.0 \text{ s}\)，得 \({{a}_{c}} = 8.8 \text{ m}\ {{\text{s}}^{-2}}\)。
地球自轉的情況，代入 \(R = 6.4 \times 10^{6}\text{ m}\) 和 \(T = 24 \times 3600 \text{ s}\)，得 \({{a}_{c}} = 3.4 \times 10^{-2}\text{ m}\ \text{s}^{-2}\)。留意這個值相比重力加速度小很多。

概念鞏固

轉動中的「氹氹轉」和地球

若動畫 \(1\) 中的玩具車花 \(12\text{ s}\) 完成一圈，圓形軌道半徑為 \(1.2\text{ m}\)，試根據速率的定義，推導一條方程計算玩具車的線速率 \(v\)。

A. \(0.10\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)

B. \(0.20\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)

C. \(0.62\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)

D. \(0.75\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)

【題解】
由於玩具車的速率不變，它完成一圈的走行距離就是 \(2\pi R\)，所花時間是 \(T\)。所以根據速率的定義：

\(\displaystyle{v=\frac{2\pi R}{T}}\)

代入 \(R = 1.2 \text{ m}\) 和 \(T = 12 \text{ s}\)，得 \(v = 0.62 \text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。

你也可以考慮玩具車類似模擬程式中的「氹氹轉」、或在「圓形車道」考慮 \(\theta = 0\)，設定情境數據後探究有關的結果。

動畫 \(1\)：玩具車圍繞一個半徑為 \(R\) 的圓運動

玩具車完成一圈所轉過的弧度 (radian) 為若干？

A. \({\pi }/{4}\;\)

B. \({\pi }/{2}\;\)

C. \(\pi \)

D. \(2\pi \)

【題解】
玩具車花時間 \(T\) 完成一圈，所轉過的角度就是 \(360{}^\circ \)，相當於 \(2\pi \) 的弧度。

根據角速率的定義，我們可以寫出：

\(\displaystyle{\omega =\frac{2\pi }{T}}\)

換言之，線速率與角速率的關係可以寫成：

\(\displaystyle{v=\frac{2\pi R}{T}=\omega R}\)

你可以使用動畫 \(1\) 或在模擬程式設定勻速圓周運動的情境，探究勻速圓周運動的性質。下列各項有關勻速圓周運動的性質，請選擇正確的項目：

物體的速度大小
- 等於 0
- 非 0，但不斷改變
- 非 0，但固定不變
；
物體速度的方向
- 不斷改變
- 固定不變
，
- 並指向圓心
- 呈垂直方向
- 為軌道的切線
；
物體的加速度大小
- 等於 0
- 非 0，但不斷改變
- 非 0，但固定不變
。

【題解】
如動畫 \(1\) 所示，玩具車的速率固定不變，但速度的方向卻不斷改變，並為圓形軌道的切線。

由於玩具車的速度不斷起變化，可知玩具車有加速度。

如用模擬程式的「氹氹轉」等設定勻速圓周運動，可知作用於物體的淨力 \(F\) 於運動過程中量值固定不變，換言之，加速度大小亦固定不變。

動畫 \(1\)：玩具車圍繞一個半徑為 \(R\) 的圓運動

考慮一物體在半徑為 \(R\) 的圓形路徑上從 \(\rm{A}\) 移至 \(\rm{B}\) 的位移為 \(\Delta s\)（圖 \(1\)）。其速度從 \({{\vec{v}}_{A}}\) 變為 \({{\vec{v}}_{B}}\)，轉過的角度為 \(\theta \)。

圖 \(2\) 顯示速度變化的向量圖。若 \(\theta \) 很小，\(\Delta v\) 與 \(\Delta s\) 便很接近各圖中紅色弧線的長度。由此得

\(\displaystyle{\theta =\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta s}{R}}\)

\(v\) 是 \({{\vec{v}}_{A}}\) 或 \({{\vec{v}}_{B}}\) 的長度。把上式兩邊同時除以 \(\Delta t\)，然後根據 \(v\) 和 \(s\) 的定義，得

\(\displaystyle{\frac{{\Delta v}/{\Delta t}\;}{v}=\frac{{\Delta s}/{\Delta t}\;}{R}}\)

\(\displaystyle{\Rightarrow \ \ a=\frac{{{v}^{2}}}{R}}\)

圖 \(1\)

圖 \(2\)

你可在模擬程式設定勻速圓周運動的情境後，探究勻速圓周運動的加速度性質。

下列各項有關勻速圓周運動的加速度，請選擇正確的項目（提示：根據牛頓第二定律，加速度 \(\propto \) 淨力）：

物體的加速度大小
- 等於 0
- 非 0，但不斷改變
- 非 0，但固定不變
；
物體加速度的方向
- 不斷改變
- 固定不變
，
- 並指向圓心
- 呈垂直方向
- 為軌道的切線
。

【題解】
若在動畫 \(1\) 中的玩具車標示加速度，結果會如動畫 \(1a\) 所示。

由此可知，加速度指向圓心，但量值固定不變。

動畫 \(1a\)：玩具車進行勻速圓周運動，加速度指向圓心

物體在圓形軌道運動時，若速率也改變，物體便同時有向心加速度與切向加速度 (tangential acceleration)。嘗試在下方有關切向加速度的方向選擇正確的項目：

當速率增加，切向加速度與速度的方向
- 相同
- 相反
- 互相垂直
；
當速率減少，切向加速度與速度的方向
- 相同
- 相反
- 互相垂直
。

【題解】
當物體在圓形軌道運動時有速率變化，表示有切向加速度：

\(\displaystyle{{{a}_{t}}=\frac{\delta v}{\delta t}}\)

留意動畫 \(1b\) 中，這時加速度 (\(a\)) 有兩個分量 (\({{a}_{c}}\) 和 \({{a}_{t}}\))，車子的加速度不再指向圓心。

動畫 \(1b\)：玩具車進行圓周運動有速率變化，所以有切向加速度

考慮模擬程式中的「氹氹轉」或類似情境，可根據動畫 \(2a\) 設定參數，演示圓盆與男孩的運動。

按「播放」後，男孩進行勻速圓周運動。若把男孩移近圓盆的中心。根據模擬結果，男孩的...

線速率 \(v\) 會；
角速率 \(\omega \) 會。

【題解】
模擬結果顯示，男孩愈靠近圓盆的中心，他的線速率 \(v\) 便愈小。然而，無論男孩是站在圓盆的邊緣還是靠近圓盆的中心，他的角速率 \(\omega \) 均維持不變。

由於角速率 \(\omega \) 就是 \({2\pi }/{T}\;\)，圓盆上任何一點的週期也沒有差異，所以圓盆上任何一點的角速率亦會完全相同。

而線速率 \(v\) 就是 \(R\ \omega \)，其中 \(R\) 是男孩與圓盆中心的距離。換言之，線速率會隨着男孩移近圓盆中心而逐漸減小。

動畫 \(2a\)：轉動中的「氹氹轉」

若剛才動畫 \(2\) 中的男孩循逆時針方向轉動，起始位置為 \(\rm{A}\)，如圖 \(3\) 所示。

考慮男孩從位置 \(\rm{A}\) 移至位置 \(\rm{B}\)，下列哪箭矢正確表示速度變化的方向？

（可借助模擬程式觀察男孩在不同位置的速度，以分析其速度變化的方向）

圖 \(3\)

A. B.

C. D.

【題解】
男孩從 \(\rm{A}\) 點移至 \(\rm{B}\) 點的速度變化就是

\({{\vec{v}}_{B}}-{{\vec{v}}_{A}}\)

男孩在 \(\rm{A}\) 點時的速度指向北、在 \(\rm{B}\) 點時的速度指向西，換言之答案如圖 \(4\) 所示。

圖 \(4\)