概率與組合數學有很多共通的計數原理。
在計算兩個集合 \(A\) 和 \(B\) 的併集的冪時，我們有恆等式 $$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|。$$ 我們命名它為排容原理。
在概率運算中，兩個對於兩個事件 \(A\) 和 \(B\) 我們有加法定律 $$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)。$$
這兩條算式都可以推廣到更多集合/事件： 考慮三個集合/事件 \(A\)、\(B\) 和 \(C\)， 排容原理的推廣就是 $$\begin{align*} &|A\cup B\cup C| \\ =& |A| + |B| + |C| \\ &- |A\cap B| -|B\cap C|-|A\cap C|\\ &+|A\cap B\cap C|； \end{align*}$$ 加法定律則可以推廣為 $$\begin{align*} &P(A\cup B\cup C) \\ =& P(A) + P(B) + P(C) \\ &- P(A\cap B) -P(B\cap C)-P(A\cap C)\\ &+P(A\cap B\cap C)。 \end{align*}$$ 同學可以透過互動教材學習其證明。
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按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &|\color{red}{A \cup B \cup C}|\\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B \cup C| - |A \cap (B \cup C)|}\\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B \cup C| - (|A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|)}\\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B \cup C| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|} \\ \phantom{=}&\phantom{|A| +(|B| + |C| -|B \cap C|) - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|} \\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B| + |C| - |A \cap B| -|B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|。} \end{align*}$$按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &|A \cup B \cup C|\\ =&|\color{red}{A}| + |\color{red}{B \cup C}| - |\color{blue}{A \cap (B \cup C)}|\\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B \cup C| - (|A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|)}\\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B \cup C| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|} \\ \phantom{=}&\phantom{|A| + (|B| + |C| -|B \cap C|) - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|} \\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B| + |C| - |A \cap B| -|B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|。} \end{align*}$$
按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &|A \cup B \cup C|\\ =&|A| + |B \cup C| - |A \cap (B \cup C)|\\ =&|A| + |B \cup C| - (|A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|)\\ =&|\color{red}{A}| + |\color{red}{B \cup C}| - |\color{blue}{A \cap B}| - |\color{blue}{A \cap C}| + |\color{green}{A \cap B \cap C}| \\ \phantom{=}&\phantom{|A| + (|B| + |C| -|B \cap C|) - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|} \\ \phantom{=}&\phantom{|A| + |B| + |C| - |A \cap B| -|B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|。} \end{align*}$$
提示：
\(|A \cap (B \cup C)| = |(A \cap B) \cup (A \cap C)| = |A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|。\)
按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &|A \cup B \cup C|\\ =&|A| + |B \cup C| - |A \cap (B \cup C)|\\ =&|A| + |B \cup C| - (|A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|)\\ =&|A| + |B \cup C| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| \\ =&|A| + (|B| + |C| -|B \cap C|) - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| \\ =&|\color{red}{A}| + |\color{red}{B}| + |\color{red}{C}| - |\color{blue}{A \cap B}| -|\color{blue}{B \cap C}| - |\color{blue}{A \cap C}| + |\color{green}{A \cap B \cap C}|。 \end{align*}$$
提示：\(|B \cup C| = |B| + |C| -|B \cap C|。\)
按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &P(\color{red}{A \cup B \cup C})\\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B \cup C) - P(A \cap (B \cup C))}\\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B \cup C) - [ P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) ]}\\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B \cup C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)} \\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + [P(B) + P(C) -P(B \cap C)] - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)} \\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) -P(B \cap C) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)。} \end{align*}$$按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &P(A \cup B \cup C)\\ =&P(\color{red}{A}) + P(\color{red}{B \cup C}) - P(\color{blue}{A \cap (B \cup C)})\\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B \cup C) - [ P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) ]}\\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B \cup C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)} \\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + [P(B) + P(C) -P(B \cap C)] - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)} \\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) -P(B \cap C) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)。} \end{align*}$$
提示：這是兩個事件的加法定律。
按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &P(A \cup B \cup C)\\ =&P(A) + P(B \cup C) - P(A \cap (B \cup C))\\ =&P(A) + P(B \cup C) - [ P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) ]\\ =&P(\color{red}{A}) + P(\color{red}{B \cup C}) - P(\color{blue}{A \cap B}) - P(\color{blue}{A \cap C}) + P(\color{green}{A \cap B \cap C}) \\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + [P(B) + P(C) -P(B \cap C)] - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)} \\ \phantom{=}&\phantom{P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) -P(B \cap C) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)。} \end{align*}$$
提示：根據兩個事件的加法定律， $$\begin{align*} &P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ = &P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)。 \end{align*}$$
按下一步看推導過程。
$$\begin{align*} &P(A \cup B \cup C)\\ =&P(A) + P(B \cup C) - P(A \cap (B \cup C))\\ =&P(A) + P(B \cup C) - [ P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) ]\\ =&P(A) + P(B \cup C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) \\ =&P(A) + [P(B) + P(C) -P(B \cap C)] - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) \\ =&P(\color{red}{A}) + P(\color{red}{B}) + P(\color{red}{C}) - P(\color{blue}{A \cap B}) -P(\color{blue}{B \cap C}) - P(\color{blue}{A \cap C}) + P(\color{green}{A \cap B \cap C})。 \end{align*}$$
提示：根據兩個事件的加法定律，$$P(B \cup C) = P(B) + P(C) -P(B \cap C)。$$
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一個晚宴有三對夫婦參加，晚宴中有個社交舞環節：三位男士各被隨機安排一位女士作舞伴。求至少有一對舞者實為夫婦的概率是多少？
\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
\(1\)