[興倫智能課堂] 概率的運算

第二節獨立事件的乘法定律

理論

獨立事件的乘法定律不過是條件概率的乘法法則的特例。

對於樣本空間\(\;S\;\)中的獨立事件\(\;A\;\)和\(\;B\)，

\[{P(A\cap B)=P(A)\times P(B)}\color{black}{。}\]

若\(\;P(B)=0\)，等式顯然成立；我們不妨假設\(\;P(B)\neq 0\)。一方面，根據條件概率的乘法法則，\[P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)；\] 另一方面，根據獨立事件的定義，\[P(A|B)=P(A)。\] 故此，\[P(A\cap B)=P(A)\times P(B)。\]

反過來說，我們更可用等式定義獨立事件，包括\(\;P(B)= 0\;\)的情況。

如果\(\;P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)，那麼事件\(\;B\;\)與事件\(\;A\;\)就是獨立事件；否則，\(P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)\)，我們便說\(\;A\;\)和\(\;B\;\)為相關事件。

例子

互動素材展示在一套完整的撲克牌中公平地抽一張的所有可能結果。

我們可以借它驗證獨立事件的乘法定律：

例子一
例子二

抽到紅心與牌面為\(\;9\;\)是一對獨立事件：

\[\begin{align*} &P(\mbox{抽到紅心}\cap \mbox{牌面為}\;9)\\ =&P(\mbox{抽到紅心}\;9)\\ =&\frac{1}{52}\\ =&\frac{1}{4}\times \frac{1}{13}\\ &P(\mbox{抽到紅心})\times P(\mbox{牌面為}\;9)。 \end{align*}\]

設事件 \(\;A\;\) 為抽到黑色牌、事件 \(\;B\;\) 為抽到數字；則事件 \(\overline{A}\) 為抽到紅色牌、事件 \(\overline{B}\) 為抽到字母。那麼，

是一對獨立事件；

\[\begin{align*} &P(A\cap B)\\ =&\frac{9}{26}\\ =&\frac{1}{2}\times\frac{9}{13}\\ =&P(A)\times P(B) \;。 \end{align*}\]
是一對獨立事件；

\[\begin{align*} &P(\overline{A}\cap B)\\ =&\frac{9}{26}\\ =&\frac{1}{2}\times\frac{9}{13}\\ =&P(\overline{A})\times P(B) \;。 \end{align*}\]
是一對獨立事件；

\[\begin{align*} &P(A\cap \overline{B})\\ =&\frac{2}{13}\\ =&\frac{1}{2}\times\frac{4}{13}\\ =&P(A)\times P(\overline{B}) \;。 \end{align*}\]
是一對獨立事件。

\[\begin{align*} &P(\overline{A}\cap \overline{B})\\ =&\frac{2}{13}\\ =&\frac{1}{2}\times\frac{4}{13}\\ =&P(\overline{A})\times P(\overline{B}) \;。 \end{align*}\]

透過概率的乘法定律，我們可以證明以下四個陳述是等價的(如果任一陳述成立，則全部陳述也必成立)：

(i) \(\;A\;\)和\(\;B\;\)是獨立事件；
(ii) \(\overline{A}\;\)和\(\;B\;\)是獨立事件；
(iii) \(\overline{A}\;\)和\(\;\overline{B}\;\)是獨立事件；
(iv) \(\;A\;\)和\(\;\overline{B}\;\)是獨立事件。

證明

\( \spadesuit 2\)

\( \spadesuit 3\)

\( \spadesuit 4\)

\( \spadesuit 5\)

\( \spadesuit 6\)

\( \spadesuit 7\)

\( \spadesuit 8\)

\( \spadesuit 9\)

\( \spadesuit 10\)

\( \spadesuit J\)

\( \spadesuit Q\)

\( \spadesuit K\)

\( \spadesuit A\)

\( \clubsuit 2\)

\( \clubsuit 3\)

\( \clubsuit 4\)

\( \clubsuit 5\)

\( \clubsuit 6\)

\( \clubsuit 7\)

\( \clubsuit 8\)

\( \clubsuit 9\)

\( \clubsuit 10\)

\( \clubsuit J\)

\( \clubsuit Q\)

\( \clubsuit K\)

\( \clubsuit A\)

\( \color{red}{\heartsuit 2}\)

\( \color{red}{\heartsuit 3}\)

\( \color{red}{\heartsuit 4}\)

\( \color{red}{\heartsuit 5}\)

\( \color{red}{\heartsuit 6}\)

\( \color{red}{\heartsuit 7}\)

\( \color{red}{\heartsuit 8}\)

\( \color{red}{\heartsuit 9}\)

\( \color{red}{\heartsuit 10}\)

\( \color{red}{\heartsuit J}\)

\( \color{red}{\heartsuit Q}\)

\( \color{red}{\heartsuit K}\)

\( \color{red}{\heartsuit A}\)

\( \color{red}{\diamondsuit 2}\)

\( \color{red}{\diamondsuit 3}\)

\( \color{red}{\diamondsuit 4}\)

\( \color{red}{\diamondsuit 5}\)

\( \color{red}{\diamondsuit 6}\)

\( \color{red}{\diamondsuit 7}\)

\( \color{red}{\diamondsuit 8}\)

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\( \color{red}{\diamondsuit A}\)