[興倫智能課堂] 線性規劃

第三節簡單的應用

更多的例子

某地盤有一項工程需要\(\;10\;\)紮鐵工人和\(\;3\;\)個釘板工人一年的工作量來完成。市場上只有兩家承包工程團隊如下：

	工程團隊甲	工程團隊乙
紮鐵	\(\;8\;\)人	\(\;5\;\)人
釘板	\(\;1\;\)人	\(\;5\;\)人

已知雇用工程團隊甲和雇用工程團隊乙花費比例為\(\;3:2\;\)，請問如何雇用兩個團隊可以最便宜地完成工程？

首先，我們要建立數學模型：設地盤雇用工程團隊甲\(\;x\;\)年，而雇用工程團隊乙\(\;y\;\)年。約束條件為\(\; \left\{ \begin{array}{l} 8x + 5y \ge 10 \\ x+5y \ge 3 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array} \right.\;\)。

則題目要求在約束條件下尋找序偶\(\;\left(x,y\right)\;\)使得目標函數\(\;C=3x+2y\;\)極小化。

在互動素材加入上述四條不等式，紅色部分劃出約束條件下的可行解區域。儘管它不是有界閉集，目標函數在可行解區域並沒有上限，但有下限；我們依然可以把所有頂點坐標對應的序偶代入目標函數中來求極小值：

當\(\;\left(x,y\right)=\left(0,2 \right)\;\)，\(C=3x+2y=4\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(3,0\right)\;\)，\(C=3x+2y=9\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(1,0.4\right)\;\)，\(C=3x+2y=3.8\)。

只要雇用工程團隊甲\(\;1\;\)年和雇用工程團隊乙\(\;0.4\;\)年，就可以最便宜地完成工程。

某公司有兩條玩具生產線甲和乙。每生產一萬件玩具，兩條生產線的運作成本如下：

	玩具甲	玩具乙
勞動成本	\(\;2\;\)單位	\(\;1\;\)單位
資金成本	\(\;1\;\)單位	\(\;2\;\)單位

已知玩具甲和玩具乙的花費盈利為\(\;3:4\;\)。公司這個星期有\(\;8\;\)個單位的勞動力和\(\;10\;\)個單位的資金，請問如何生產玩具可以賺取最大盈利？

首先，我們要建立數學模型：設這個星期公司生產玩具甲\(\;x\;\)萬件，玩具乙\(\;y\;\)萬件。約束條件為\(\; \left\{ \begin{array}{l} 2x + y \le 8 \\ x+2y \le 10 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array} \right.\;\)。則題目要求在約束條件下尋找序偶\(\;\left(x,y\right)\;\)使得目標函數\(\;C=3x+4y\;\)極大化。

在互動素材加入上述四條不等式，紅色部分劃出約束條件下的可行解區域。由於它是有界閉集，把所有頂點坐標對應的序偶代入目標函數中依然可以找到極小值：

當\(\;\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\;\)，\(C=3x+4y=0\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(4,0\right)\;\)，\(C=3x+4y=12\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(2,4\right)\;\)，\(C=3x+4y=22\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(0,5\right)\;\)，\(C=3x+4y=20\)。

這個星期公司生產玩具甲\(\;2\;\)萬件，玩具乙\(\;4\;\)萬件就可以賺取最大盈利。

如上一例，某公司有兩條玩具生產線甲和乙。每生產一萬件玩具，兩條生產線的運作成本如下：

	玩具甲	玩具乙
勞動成本	\(\;2\;\)單位	\(\;1\;\)單位
資金成本	\(\;1\;\)單位	\(\;2\;\)單位

而公司這個星期有\(\;10\;\)個單位的勞動力和\(\;9\;\)個單位的資金。已知玩具甲和玩具乙的花費盈利為\(\;3:4\;\)，請問如何生產玩具可以賺取最大盈利？（答案準確至\(\;3\;\)個有效數字）

首先，我們要建立數學模型：設這個星期公司生產玩具甲\(\;x\;\)萬件，玩具乙\(\;y\;\)萬件。約束條件為\(\; \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - 10 \le 0 \\ x+2y-9 \le 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array} \right.\;\)。則題目要求在約束條件下尋找序偶\(\;\left(x,y\right)\;\)使得目標函數\(\;C=3x+4y\;\)極大化。

當\(\;\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\;\)，\(C=3x+4y=0\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(5,0\right)\;\)，\(C=3x+4y=15\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(3.667,2.667\right)\;\)，\(C=3x+4y=21.67\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(0,4.5\right)\;\)，\(C=3x+4y=18\)。

這個星期公司生產玩具甲\(\;3.67\;\)萬件，玩具乙\(\;2.67\;\)萬件就可以賺取最大盈利。

線性規劃的應用繁多，由計劃到工程，生產到運輸都有。應用線性規劃的重點是合理地建立數學模型。數學模型先要確定變量，然後以方程式表達約束條件，最後從各種限制條件下的求最優解。我們可以透過以下例子實踐上一課的理論。

典型的問題

某大亨有一幅地皮可發展住宅物業。他打算發展大小單位兩種，面積分別為\(\;1000\;\)平方呎和\(\;500\;\)平方呎。政府規定該幅地皮上最多可發展\(\;60\;\)萬平方呎物業。大亨偏好大單位，希望這項發展以大單位為主，而大小單位總數不少於七百伙。如果每個小單位利潤為\(\;2\;\)百萬元，而每個大單位利潤為\(\;5\;\)百萬元，則大亨這項發展最多可以賺多少錢？

首先，我們要建立數學模型：設地皮發展小單位數目為\(\;x\;\)百伙，而大單位數目為\(\;y\;\)百伙。

則約束條件為\(\; \left\{ \begin{array}{l} 50x+100y & \le 600 \left( 千平方呎\right)\\ x & \le y\left( 百伙\right)\\ x + y & \ge 7 \left( 百伙\right) \\x & \ge 0\left( 百伙\right)\\ y & \ge 0\left( 百伙\right) \end{array} \right.\;\)。

題目要求在約束條件下尋找利潤\(\;C=2x+5y \left( 億元\right)\;\)的極大值。

重寫第一條不等式為\(\;x+2y \le 12\;\)。注意到最後兩條不等式指可行解區域是第一象限內，正是互動素材顯示部分，我們只要在互動素材加入首三條不等式，紅色部分劃出約束條件下的可行解區域，發現它是有界閉集。所以，我們只要把所有頂點坐標對應的序偶代入目標函數中，便可以找到\(\;C=2x+5y\;\)在約束條件下的極大值和極小值：

當\(\;\left(x,y\right)=\left(3.5,3.5 \right)\;\)，\(C=2x+5y=24.5\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(4, 4\right)\;\)，\(C=2x+5y=28\)。
當\(\;\left(x,y\right)=\left(2, 5\right)\;\)，\(C=2x+5y=29\)。

只要發展\(\;2\;\)百伙小單位和\(\;5\;\)百伙大單位，大亨就可以極大化利潤至\(\;29\;\)億元。