如圖，設\(\,\triangle ABC\,\)的底邊為\(\,AB\)。
設\(\,\triangle ABC\,\)的底邊為\(\,AB\,\)及\(\,h\,\)為高。
設\(\,CD \bot AB\)，則\(\,CD =h\)。
若\(\,AD = x\)，則\(\,DB = c–x\)。
根據畢氏定理，
在\(\,\triangle CAD\,\)中，
\(\, {b^2}–{x^2} = {h^2}\)
在\(\,\triangle CBD\,\)中，
\(\, {a^2}–{(c-x)^2} = {h^2}\)
∴
\(\,{b^2}-{x^2}\)
\(\,={a^2}-{(c-x)^2}\)
\(\,={a^2}-({c^2}-2cx+{x^2})\)
\(\,={a^2}-{c^2}+2cx-{x^2}\)
\(\,{b^2}\)
\(\,={a^2}-{c^2}+2cx\)
∵
在\(\,\triangle CAD\,\)中，\(\,x = b \cos A \)
\(\,{a^2} ={b^2}+{c^2}-2bc \cos A\)
因此\(\,{a^2} = {b^2} + {c^2}–2bc \cos A \)。
同樣地，我們也可證明
\(\,{b^2} = {c^2} + {a^2}–2ca \cos B \,\)及\(\,{c^2} = {a^2} + {b^2}–2ab \cos C \)。
餘弦公式
對於任意\(\,\triangle ABC\)，
\(\,{a^2}\)
\(\,={b^2}+{c^2}-2bc \cos A\)，
\(\,={c^2}+{a^2}-2ca \cos B\)，
\(\,{c^2}\)
\(\,={a^2}+{b^2}-2ab \cos C\)。
我們亦可把餘弦公式寫為以下的形式：
\(\, \displaystyle \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)，
\(\, \displaystyle \cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\)，
\(\, \displaystyle \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)。
