在這一節中，我們首先以數學實驗探索在\(\,0^\circ \le \theta \le 360^\circ\,\)的三角比的關係。
在以下的模擬模型中，圓的半徑為\(\,r \,\)，圓心為原點，\(\,\triangle AOP = \theta \,\)。設\(\,P(x, y)\,\)為圓上的一點。
在先前的活動中，同學應該察覺到其實正弦、餘弦及正切三者並不受 \(r\) 影響，而只受角 \(\theta\) 影響，這是因為改變 \(r\) 得到的是相似三角形，必能保持三角形邊長的比例。故此，在後面的活動，我們不妨先集中觀察 \(r=1\) 的情況。
請打開模擬模型移動數值滑桿\(\,r \,\)來設圓的半徑為 \(1\) 單位，及移動\(\,P \,\)點來改變\(\,\theta \,\)的值。
我們可以得到下面的列表
| 象限I | 象限II | 象限III | 象限IV | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\theta \) | \(\boldsymbol{{\small \sin}{\small \theta}} \) | \(\boldsymbol{{\small \cos} {\small \theta}} \) | \(\boldsymbol{{\small \tan } {\small \theta}} \) | \(\boldsymbol{{\small\sin }({\small 180}^\circ -{\small\theta}}\)) | \({\small\cos }({\small 180}^\circ -{\small\theta}\)) | \({\small\tan }({\small 180}^\circ -{\small\theta}\)) | \({\small\sin }({\small 180}^\circ +{\small\theta}\)) | \({\small\cos }({\small 180}^\circ +{\small\theta}\)) | \(\boldsymbol{{\small\tan }({\small 180}^\circ +{\small\theta}}\)) | \({\small\sin }({\small 360}^\circ -{\small\theta}\)) | \(\boldsymbol{{\small\cos }({\small 360}^\circ -{\small\theta}}\)) | \({\small\tan }({\small 360}^\circ -{\small\theta}\)) |
| \(\small {30^\circ} \) | \(\boldsymbol{\frac{1}{2}}\) | \(\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) | \(\boldsymbol{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) | \(\boldsymbol{\frac{1}{2}}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\boldsymbol{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) | \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) |
| \(\small {45^\circ} \) | \(\boldsymbol{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) | \(\boldsymbol{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) | 1 | \(\boldsymbol{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) | \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(-1\) | \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) | 1 | \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\boldsymbol{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) | \(-1\) |
| \(\small {60^\circ} \) | \(\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) | \(\boldsymbol{\frac{1}{2}}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\sqrt{3}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\boldsymbol{\frac{1}{2}}\) | \(-\sqrt{3}\) |
請留意當\(\,\theta\,\)在三個不同的情形下，
\(\,\sin \theta\,\)、\(\,\sin (180^\circ - \theta)\,\)、\(\,\sin (180^\circ + \theta)\,\)及\(\,\sin (360^\circ - \theta)\,\)的關係，
\(\,\cos \theta\,\)、\(\,\cos (180^\circ - \theta)\,\)、\(\,\cos (180^\circ + \theta)\,\)及\(\,\cos (360^\circ - \theta)\,\)的關係，
\(\,\tan \theta\,\)、\(\,\tan (180^\circ - \theta)\,\)、\(\,\tan (180^\circ + \theta)\,\)及\(\,\tan (360^\circ - \theta)\,\)的關係。