[興倫智能課堂] 二項展式/二項式定理

第二節自然數等冪求和問題

對於非負整數\(\;m\;\)的自然數等冪求和問題是這樣的：

隨便給你一個自然數\(\;n\)，請計算 \[1^m+2^m+\cdots+n^m。\]

為了書寫方便，我們不妨定義級數 \[S_m(n)=\sum^n_{i=1}i^m=1^m+2^m+\cdots+n^m。\] 如果我們不想一項一項的加\(\;n\;\)次去計算\(\;S_m(n)\)，則解決方法就是去找一道好的公式。

這時候，二項式定理就可以幫到我們了。

一般的規律

一般而言，\(S_m(n)\;\)的公式可以從\(\;S_0(n),S_1(n),\cdots,S_{m-1}(n)\;\)的公式推導所得： \[S_m(n)=\frac{(n+1)^{m+1}-1-\sum^{m-1}_{j=0}C^{m+1}_j S_j(n)}{m+1}。\] 推導的過程就要用到二項式定理。

\begin{align*} S_m(n) &=\sum^n_{i=1}i^m\\ &=\sum^n_{i=1}\frac{(i+1)^{m+1}-i^{m+1}-\sum^{m-1}_{j=0}C^{m+1}_j i^j}{m+1}\\ &=\frac{\sum^n_{i=1}(i+1)^{m+1}-\sum^n_{i=1}i^{m+1}-\sum^n_{i=1}\sum^{m-1}_{j=0}C^{m+1}_j i^j}{m+1}\\ %&=\frac{(n+1)^{m+1}+\sum^{n-1}_{i=1}(i+1)^{m+1}-\sum^n_{i=2}i^{m+1}-1-\sum^n_{i=1}\sum^{m-1}_{j=0}C^{m+1}_j i^j}{m+1}\\ &=\frac{(n+1)^{m+1}-1-\sum^{m-1}_{j=0} \sum^n_{i=1}C^{m+1}_j i^j}{m+1}\\ &=\frac{(n+1)^{m+1}-1-\sum^{m-1}_{j=0}C^{m+1}_j S_j(n)}{m+1}。 \end{align*}

\(\;m\;\)比較小的例子

要理解這個規律，我們可以看看\(\;m\;\)比較小的例子。

\(S_0(n)\;\)是明顯的，\(S_1(n)\;\)就是等差公式，你可以從\(\;S_2(n)\;\)開始看。

\begin{align*} S_0(n) &=\sum^n_{i=1}i^0\\ &\phantom{=\sum^n_{i=1}1}\\ &\phantom{=n。} \end{align*}

\begin{align*} S_0(n) &=\sum^n_{i=1}i^0\\ &=\sum^n_{i=1}1\\ &\phantom{=n。} \end{align*}

\begin{align*} S_0(n) &=\sum^n_{i=1}i^0\\ &=\sum^n_{i=1}1\\ &=n。 \end{align*}

上一步下一步

\begin{align*} S_1(n) &=\sum^n_{i=1}i\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{2}-1-\sum^{0}_{j=0}C^{2}_j S_j(n)}{2}}\\ &\phantom{=\frac{n^2+2n+1-1-S_0(n)}{2}}\\ &\phantom{=\frac{n^2+2n+1-1-n}{2}}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)}{2}。} \end{align*}

\begin{align*} S_1(n) &=\sum^n_{i=1}i\\ &=\frac{(n+1)^{2}-1-\sum^{0}_{j=0}C^{2}_j S_j(n)}{2}\\ &\phantom{=\frac{n^2+2n+1-1-S_0(n)}{2}}\\ &\phantom{=\frac{n^2+2n+1-1-n}{2}}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)}{2}。} \end{align*}

\begin{align*} S_1(n) &=\sum^n_{i=1}i\\ &=\frac{(n+1)^{2}-1-\sum^{0}_{j=0}C^{2}_j S_j(n)}{2}\\ &=\frac{n^2+2n+1-1-S_0(n)}{2}\\ &\phantom{=\frac{n^2+2n+1-1-n}{2}}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)}{2}。} \end{align*}

\begin{align*} S_1(n) &=\sum^n_{i=1}i\\ &=\frac{(n+1)^{2}-1-\sum^{0}_{j=0}C^{2}_j S_j(n)}{2}\\ &=\frac{n^2+2n+1-1-S_0(n)}{2}\\ &=\frac{n^2+2n+1-1-n}{2}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)}{2}。} \end{align*}

\begin{align*} S_1(n) &=\sum^n_{i=1}i\\ &=\frac{(n+1)^{2}-1-\sum^{0}_{j=0}C^{2}_j S_j(n)}{2}\\ &=\frac{n^2+2n+1-1-S_0(n)}{2}\\ &=\frac{n^2+2n+1-1-n}{2}\\ &=\frac{n(n+1)}{2。} \end{align*}

上一步下一步

\begin{align*} S_2(n) &=\sum^n_{i=1}i^2\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{3}-1-\sum^{1}_{j=0}C^{3}_j S_j(n)}{3}}\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{3}-1-S_0(n)-3S_1(n)}{3}}\\ &\phantom{=\frac{n^3+3n^2+3n+1-1-n-3\times \frac{n(n+1)}{2}}{3}}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}。} \end{align*}

\begin{align*} S_2(n) &=\sum^n_{i=1}i^2\\ &=\frac{(n+1)^{3}-1-\sum^{1}_{j=0}C^{3}_j S_j(n)}{3}\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{3}-1-S_0(n)-3S_1(n)}{3}}\\ &\phantom{=\frac{n^3+3n^2+3n+1-1-n-3\times \frac{n(n+1)}{2}}{3}}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}。} \end{align*}

\begin{align*} S_2(n) &=\sum^n_{i=1}i^2\\ &=\frac{(n+1)^{3}-1-\sum^{1}_{j=0}C^{3}_j S_j(n)}{3}\\ &=\frac{(n+1)^{3}-1-S_0(n)-3S_1(n)}{3}\\ &\phantom{=\frac{n^3+3n^2+3n+1-1-n-3\times \frac{n(n+1)}{2}}{3}}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}。} \end{align*}

\begin{align*} S_2(n) &=\sum^n_{i=1}i^2\\ &=\frac{(n+1)^{3}-1-\sum^{1}_{j=0}C^{3}_j S_j(n)}{3}\\ &=\frac{(n+1)^{3}-1-S_0(n)-3S_1(n)}{3}\\ &=\frac{n^3+3n^2+3n+1-1-n-3\times \frac{n(n+1)}{2}}{3}\\ &\phantom{=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}。} \end{align*}

上一步下一步

\begin{align*} S_3(n) &=\sum^n_{i=1}i^3\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{4}-1-\sum^{2}_{j=0}C^{4}_j S_j(n)}{4}}\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{4}-1-S_0(n)-4S_1(n)-6S_2(n)}{4}}\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{4}-1-n-2n(n+1)-n(n+1)(2n+1)}{4}}\\ &\phantom{=\frac{n^2(n+1)^2}{4}。} \end{align*}

\begin{align*} S_3(n) &=\sum^n_{i=1}i^3\\ &=\frac{(n+1)^{4}-1-\sum^{2}_{j=0}C^{4}_j S_j(n)}{4}\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{4}-1-S_0(n)-4S_1(n)-6S_2(n)}{4}}\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{4}-1-n-2n(n+1)-n(n+1)(2n+1)}{4}}\\ &\phantom{=\frac{n^2(n+1)^2}{4}。} \end{align*}

\begin{align*} S_3(n) &=\sum^n_{i=1}i^3\\ &=\frac{(n+1)^{4}-1-\sum^{2}_{j=0}C^{4}_j S_j(n)}{4}\\ &=\frac{(n+1)^{4}-1-S_0(n)-4S_1(n)-6S_2(n)}{4}\\ &\phantom{=\frac{(n+1)^{4}-1-n-2n(n+1)-n(n+1)(2n+1)}{4}}\\ &\phantom{=\frac{n^2(n+1)^2}{4}。} \end{align*}

\begin{align*} S_3(n) &=\sum^n_{i=1}i^3\\ &=\frac{(n+1)^{4}-1-\sum^{2}_{j=0}C^{4}_j S_j(n)}{4}\\ &=\frac{(n+1)^{4}-1-S_0(n)-4S_1(n)-6S_2(n)}{4}\\ &=\frac{(n+1)^{4}-1-n-2n(n+1)-n(n+1)(2n+1)}{4}\\ &\phantom{=\frac{n^2(n+1)^2}{4}。} \end{align*}

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