實際生活中，很多表示增長或衰減的過程都可以用指數函數模擬。
仍以第一課中的數學實驗提及的三個例子為例，請同學回答相應的問題。
細胞分裂是生物體生長、發育和繁殖的基礎，是一個細胞分裂為兩個細胞的過程。一個母細胞經過 \(\displaystyle{n }\) 次分裂後，子細胞的個數將達到 \(\displaystyle{{{2}^{n}} }\) 個。問：以下哪個函數能表示一個母細胞分裂次數 \(\displaystyle{ x}\) 與其子細胞個數 \(\displaystyle{ y }\) 之間的關係？
每個放射性元素都有其半衰期，經過半衰期後，其濃度降低到初始時的一半。假設某一放射性元素的半衰期是 \(\displaystyle{ t }\) 年，經過 \(\displaystyle{ x }\) 年後，該放射性元素的濃度減少至初始時的 \(\displaystyle{ y}\) 倍，問：下列哪個函數正確表示了 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{y }\) 之間的關係？
現向銀行存入一筆 \(\displaystyle{ 10 }\) 萬元存款，年利率為 \(\displaystyle{ 2\% }\)，利息的計算方式採用複利，新得到的利息同樣可以生息，經過 \(\displaystyle{ x }\) 年後，\(\displaystyle{ 10 }\) 萬元的本金升值為 \(\displaystyle{ y }\) 萬元，問：以下哪個函數能表示 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 之間的關係？
總結：以上三個例子中的函數都屬於指數函數，即指數部份不再是常數，而是含有自變量 \(\displaystyle{ x }\) 的表達式。
指數函數 (exponential function) 的一般形式為 \(\displaystyle{ f\left( x \right)={{a}^{x}} }\)，其中 \(\displaystyle{ a }\) 是一個常數，\(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{ a \ne 1 }\)，\(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}} }\) 稱作以 \(\displaystyle{ a }\) 為底的指數函數。
注意：
當 \(\displaystyle{ a=1 }\) 時，函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}} }\) 是常值函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{1}^{x}}=1 }\)，不再是指數函數。
當 \(\displaystyle{ a=0 }\) 時，函數 \(\displaystyle{ f\left( x \right)={{a}^{x}} }\) 是常值函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{0}^{x}}=0\left( x\ne 0 \right) }\) ( \(\displaystyle{0 }\) 的 \(\displaystyle{ 0 }\) 次方沒有意義 )，也不再是指數函數。
當 \(\displaystyle{ a \lt 0 }\) 時，\(\displaystyle{{{a}^{x}} }\) 可能不是一個實數， 例如當 \(\displaystyle{ a=-3 }\)，\(\displaystyle{x=\frac{1}{2} }\) 時，\(\displaystyle{{{a}^{x}}={{\left( -3 \right)}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{-3} }\) 不是一個實數。
所以，函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}} }\) 的底數 \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{ a \ne 1 }\)。
指數函數是初等函數中的一種。
在「函數」模組中，有提及指數函數 \(\displaystyle{y={{e}^{x}} }\)。
指數函數通過垂直線測試法和水平線測試法，即 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 是一一對應的關係，每一個 \(\displaystyle{ x }\) 有且只有一個 \(\displaystyle{ y }\) 與其對應，不同的 \(\displaystyle{ x }\) 值對應的 \(\displaystyle{ y}\) 值也不相同，因此指數函數有反函數，其反函數就是之後將介紹的對數函數。