數學實驗：定義幾個函數，並以這些函數為例，判斷下面的等式是否成立。
| 等 式 | 成 立 ？ |
|---|---|
| \(\displaystyle{f\left( 0 \right)=0 }\) |
是 否 |
| \(\displaystyle{f\left( -a \right)=-f\left( a \right) }\) |
是 否 |
| \(\displaystyle{{{\left[ f\left( a \right) \right]}^{2}}=f\left( {{a}^{2}} \right) }\) |
是 否 |
| \(\displaystyle{k\cdot f\left( a \right)=f\left( k\cdot a \right) }\) |
是 否 |
| \(\displaystyle{f\left( a \right)+f\left( b \right)=f\left( a+b \right) }\) |
是 否 |
| \(\displaystyle{f\left( a \right)-f\left( b \right)=f\left( a-b \right) }\) |
是 否 |
| \(\displaystyle{f\left( a \right)\times f\left( b \right)=f\left( a\times b \right) }\) |
是 否 |
| \(\displaystyle{\frac{f\left( a \right)}{f\left( b \right)}=f\left( \frac{a}{b} \right) }\) |
是 否 |
以上等式全部不成立。
如果用函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)=x }\) 來測試這些等式，等式完全成立；但是一般情況下，這些等式都不成立。
例如以函數 \(\displaystyle{ f\left( x \right)=x-2 }\) 為例代入等式中，這些等式均不成立。
例題：已知 \(\displaystyle{f\left( x \right)=-kx+3k }\) 及 \(\displaystyle{f\left( -1 \right)=8 }\)， 其中 \(\displaystyle{ k }\) 為常數，求 \(\displaystyle{ k }\) 的值。
解：\(\displaystyle{\because f\left( x \right)=-kx+3k }\)
\(\displaystyle{\therefore f\left( -1 \right)=k+3k=4k }\)
\(\displaystyle{\because f\left( -1 \right)=8 }\)
\(\displaystyle{ \therefore k=2 }\)
總結：當知道自變量和函數值時，可以代入函數中得到方程式，如果方程式中有未知常數，就可以通過解方程的方式求解未知常數。
例題：已知 \(\displaystyle{f\left( x \right) }\) 是 \(\displaystyle{ x}\) 的函數。若 \(\displaystyle{f\left( 2a+1 \right)=4{{a}^{2}}-2a+3 }\)， 其中 \(\displaystyle{ a }\) 為任意實數，求函數 \(\displaystyle{f\left( x \right) }\)。
解：已知 \(\displaystyle{f\left( 2a+1 \right)=4{{a}^{2}}-2a+3 }\)
設 \(\displaystyle{ 2a+1=x }\)，那麼 \(\displaystyle{a=\frac{x-1}{2} }\)
代入 \(\displaystyle{ x }\)，得到關於 \(\displaystyle{ x }\) 的函數：
\(\begin{align*} f\left( x \right) &= 4{{\left( \frac{x-1}{2} \right)}^{2}}-2\times \frac{x-1}{2}+3 \\
&= {{x}^{2}}-3x+5 \end{align*}\)
總結：不同的變量的運算就是通過變量的轉換。
例題：有一塊 \(\displaystyle{ 20 }\) \(\displaystyle{ \text{cm} }\) 長的細木板，在不浪費任何木板的情況下，把它截成四段釘成一個長方形的木框，木框一邊的長度為 \(\displaystyle{ x }\) \(\displaystyle{ \text{cm} }\)。
解：(1) 整個木板的長度為 \(\displaystyle{ 20 }\) \(\displaystyle{ \text{cm} }\)，那麼木框的周邊也就為 \(\displaystyle{ 20 }\) \(\displaystyle{ \text{cm} }\)；
木框一邊的長度為 \(\displaystyle{ x }\) \(\displaystyle{ \text{cm} }\)，那麼另一邊為 \(\displaystyle{\left( \frac{20}{2}-x \right) }\) \(\displaystyle{ \text{cm} }\)；
所以，木框的面積 \(\displaystyle{f\left( x \right)=\left( \frac{20}{2}-x \right)\cdot x=-{{x}^{2}}+10x }\)
(2) \(\displaystyle{f\left( 8 \right)=-{{8}^{2}}+10\times 8=16 }\)
所以，當木框一邊的長度為 \(\displaystyle{ 8 }\) \(\displaystyle{ \text{cm} }\) 時，木框的面積是 \(\displaystyle{ 16 }\) \(\displaystyle{ \text{cm}^2 }\)。