例題：動點 \(\displaystyle{ P }\) 在直角坐標平面上與兩條相交直線 \(\displaystyle{{{L}_{1}}:x=2 }\) 和 \(\displaystyle{{{L}_{2}}:y=1 }\) 保持等距，求 \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程。
解：根據提供的條件可知，\(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡是直線 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 與直線 \(\displaystyle{{{L}_{2}} }\) 相交所形成的夾角的一對角平分線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\) 和 \(\displaystyle{ {{L}_{4}} }\)，該對角平分線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\) 和 \(\displaystyle{ {{L}_{4}} }\) 相互垂直，四條直線相交於一點 \(\displaystyle{ A }\)，如圖所示。
\(\displaystyle{ \because {{L}_{1}} }\) 垂直於 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 直線 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 與 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 的夾角為 \(\displaystyle{{{90}^{\circ }} }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) \(\displaystyle{\theta ={{45}^{\circ }} }\)
\(\displaystyle{ \because {{L}_{2}} }\) 平行於 \(\displaystyle{ x }\)軸
\(\displaystyle{ \therefore }\) 直線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\) 的傾角為 \(\displaystyle{ {{45}^{\circ }} }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 直線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\) 的斜率為 \(\displaystyle{ 1 }\)
\(\displaystyle{ \because A }\) 點是 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 與 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 的交點 \(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ \therefore A }\) 點的坐標為 \(\displaystyle{ \left( 2,1 \right) }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 直線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\) 的方程為 \(\displaystyle{ y=x-1 }\)
\(\displaystyle{\because {{L}_{3}} }\) 與 \(\displaystyle{ {{L}_{4}} }\) 相互垂直
\(\displaystyle{ \therefore }\) 直線 \(\displaystyle{ {{L}_{4}} }\) 的斜率為 \(\displaystyle{ \frac{-1}{1}=-1 }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 直線 \(\displaystyle{ {{L}_{4}} }\) 的方程為 \(\displaystyle{ y=-x+3 }\)
\(\displaystyle{\therefore P }\) 點的軌跡方程是直線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}}:y=x-1 }\) 和直線 \(\displaystyle{ {{L}_{4}}:y=-x+3 }\)