例題：給定直角坐標平面上的兩條直線 \(\displaystyle{{{L}_{1}}:3x+2y+6=0 }\) 與 \(\displaystyle{{{L}_{2}}:3x+2y-4=0 }\)，點 \(\displaystyle{ P }\) 移動時，始終保持與兩條直線等距， 求 \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程。
解：根據提供的條件可知，\(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡是一條位於直線 \(\displaystyle{{{L}_{1}} }\) 與 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 之間且平行於 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 和 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 的直線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\)，如圖所示。
假設直線 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\)、\(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\)、\(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 軸分別交於點 \(\displaystyle{ A }\)、\(\displaystyle{ C }\)、\(\displaystyle{ B }\) ，畫一條經過點 \(\displaystyle{ C }\)，且與直線 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 和 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 垂直的直線，該直線與 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 交於點 \(\displaystyle{ M }\)，與 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 交於點 \(\displaystyle{ N }\)，則直線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}} }\) 到直線 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 和 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 的距離分別為 \(\displaystyle{CM }\) 和 \(\displaystyle{CN}\)。
\(\displaystyle{\because {{ L }_{1}}//{{L}_{2}} }\)，\(\displaystyle{\angle CMA=\angle CNB={{90}^{\circ }} }\)，\(\displaystyle{ CM=CN }\)
\(\displaystyle{\therefore \Delta ACM\cong \Delta BCN }\) （\(\text{ASA}\)）
\(\displaystyle{\therefore AC=BC }\)
\(\displaystyle{\therefore C }\) 是 \(\displaystyle{ AB }\) 的中點
由 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 與 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 的方程可知：\(\displaystyle{ A }\) 點的坐標為 \(\displaystyle{\left( 0,2 \right) }\)，\(\displaystyle{ B }\) 點的坐標為 \(\displaystyle{\left( 0,-3 \right) }\)
\(\displaystyle{ \therefore C }\) 點的坐標為 \(\displaystyle{\left( 0,-\frac{1}{2} \right) }\)
\(\displaystyle{\because {{ L}_{1}}//{{L}_{2}}//{{L}_{3}} }\)
\(\displaystyle{\therefore {{L}_{3}} }\) 的斜率為 \(\displaystyle{-\frac{3}{2} }\)
\(\displaystyle{\therefore {{L}_{3}} }\) 的方程為 \(\displaystyle{3x+2y+1=0 }\)
\(\displaystyle{ \therefore P }\) 點的軌跡方程是直線 \(\displaystyle{ {{L}_{3}}:3x+2y+1=0 }\)