例題：在直角坐標平面上，點 \(\displaystyle{ P }\) 移動時，始終保持與直線 \(\displaystyle{L:y=x+1 }\) 距離 \(\displaystyle{ 2 }\) 單位， 求 \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程。
解：根據提供的條件可知，\(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡是兩條與已知直線 \(\displaystyle{ L }\) 平行且相距 \(\displaystyle{ 2 }\) 單位的直線，如圖所示，三條直線與 \(\displaystyle{y }\) 軸的交點為分別記為 \(\displaystyle{ B }\)，\(\displaystyle{ A }\)，\(\displaystyle{ C }\)。
兩條直線記為 \(\displaystyle{{{L}_{1}} }\) 和 \(\displaystyle{{{L}_{2}} }\)，假設它們的 \(\displaystyle{ y }\) 軸截距分別為 \(\displaystyle{ b }\) 和 \(\displaystyle{ c }\)
則直線 \(\displaystyle{ {{L}_{1}} }\) 和 \(\displaystyle{ {{L}_{2}} }\) 的方程分別為：\(\displaystyle{{{L}_{1}}:y=x+b }\) 和 \(\displaystyle{{{L}_{2}}:y=x+c }\)
\(\displaystyle{ \because }\) 直線 \(\displaystyle{ L }\) 的的斜率為 \(\displaystyle{ 1 }\)
\(\displaystyle{\therefore L }\) 的傾角 \(\displaystyle{\theta ={{45}^{\circ }} }\)
\(\displaystyle{ \because }\) 點 \(\displaystyle{ B }\) 到 \(\displaystyle{ L }\) 的距離為 \(\displaystyle{ 2 }\)
\(\displaystyle{\therefore AB=\frac{2}{\sin {{45}^{\circ }} }=2\sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ \therefore AB=b-1=2\sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ \therefore b=2\sqrt{2}+1 }\)
同理：\(\displaystyle{\because }\) 點 \(\displaystyle{ C }\) 到 \(\displaystyle{ L }\) 的距離為 \(\displaystyle{ 2 }\)
\(\displaystyle{\therefore AC=\frac{2}{\sin {{45}^{\circ }} }=2\sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ \therefore AC=1-c=2\sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ \therefore c=1-2\sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{\therefore P }\) 點的軌跡方程是直線 \(\displaystyle{ {{L}_{1}}:y=x+1+2\sqrt{2} }\) 和直線 \(\displaystyle{ {{L}_{2}}:y=x+1-2\sqrt{2} }\)