例題：給定直角坐標平面上的兩點 \(\displaystyle{A\left( 3,1 \right) }\) 和 \(\displaystyle{B\left( -2,-4 \right) }\)，點 \(\displaystyle{ P }\) 移動時，始終保持與 \(\displaystyle{ A }\)、\(\displaystyle{ B }\) 兩點等距，求 \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程。
解：設點 \(\displaystyle{P\left( x,y \right) }\) 是軌跡上的一點
根據提供的條件：\(\displaystyle{ AP=BP }\)
即 \(\displaystyle{\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}} }\)
方程兩邊同時平方，化簡得： \(\displaystyle{x+y+1=0 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程是 \(\displaystyle{x+y+1=0 }\)
根據軌跡的描繪可知，這條直線是線段 \(\displaystyle{ AB }\) 的垂直平分線。