例題：給定直角坐標平面上的兩點 \(\displaystyle{A\left( 3,1 \right) }\) 和 \(\displaystyle{B\left( -2,-4 \right) }\)，點 \(\displaystyle{ P }\) 移動時，始終保持 \(\displaystyle{AP:BP=1:2 }\)， 求 \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程。
解：設點 \(\displaystyle{P\left( x,y \right) }\) 是軌跡上的一點
根據提供的條件： \(\displaystyle{AP:BP=1:2 }\)
即 \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{2}\ }\)
方程兩邊同時平方，化簡得：
\(\displaystyle{3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}-28x-16y+20=0 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程是 \(\displaystyle{3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}-28x-16y+20=0 }\)
如圖所示， \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡是一個圓。