例題：給定直角坐標平面上的兩點 \(\displaystyle{A\left( 0,1 \right) }\) 和 \(\displaystyle{B\left( 0,-1 \right) }\) ，點 \(\displaystyle{ P }\) 移動時，始終保持 \(\displaystyle{AP+BP=5 }\)， 求 \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程。
解：設點 \(\displaystyle{P\left( x,y \right) }\) 是軌跡上的一點
根據提供的條件： \(\displaystyle{AP+BP=5 }\)
即 \(\displaystyle{\sqrt{{{\left( x-0 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-0 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=5 }\)
\(\displaystyle{\therefore \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=5-\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}} }\)
方程兩邊同時平方，化簡得：\(\displaystyle{ 10\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=25+4y }\)
方程兩邊再次同時平方，化簡得：\(\displaystyle{100{{x}^{2}}+84{{y}^{2}}-525=0 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程是 \(\displaystyle{100{{x}^{2}}+84{{y}^{2}}-525=0 }\)
如圖所示，\(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡是一個橢圓。