設在直角坐標平面上，點 \(\displaystyle{ P\left( x,y \right) }\) 是滿足特定的條件移動的一點，它的軌跡可用表示 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 的關係的代數方程來表示，該方程稱為軌跡方程。

求解動點 \(\displaystyle{ P\left( x,y \right)}\) 的軌跡方程的步驟如下：

在步驟 (2) 中，常常給出的條件涉及到 「兩點之間的距離」，「直線的斜率」，「兩條直線平行」，「兩條直線垂直」，需要運用以下的知識：

已知 \(\displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) }\) 和 \(\displaystyle{B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) }\) 兩點，則：

1. \(\displaystyle{ A }\) 與 \(\displaystyle{ B }\) 之間的距離：\(\displaystyle{\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}} }\)
2. 穿過點 \(\displaystyle{ A }\) 和點 \(\displaystyle{ B }\) 的直線的斜率：\(\displaystyle{\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} }\)，其中 \(\displaystyle{{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} }\)
3. 兩條平行的直線的斜率相等，即與直線 \(\displaystyle{ AB }\) 平行的直線的斜率：\(\displaystyle{\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} }\)，其中 \(\displaystyle{{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} }\)
4. 兩條相互垂直的直線的斜率相乘為 \(\displaystyle{ -1 }\)，即與直線 \(\displaystyle{ AB }\) 垂直的直線的斜率：\(\displaystyle{-\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}} }\)，其中 \(\displaystyle{{{y}_{1}}\ne {{y}_{2}} }\)

注意：考查穿過點 \(\displaystyle{ A }\) 與點 \(\displaystyle{ B }\) 的直線是水平線和鉛垂線的情況，即 \(\displaystyle{{{x}_{1}}={{x}_{2}} }\) 或 \(\displaystyle{{{y}_{1}}={{y}_{2}} }\)。

例題：在直角坐標平面上， \(\displaystyle{ P }\) 點移動時，與固定點 \(\displaystyle{A\left( -1,2 \right) }\) 保持 \(3\) 單位的固定距離， 求 \(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡方程。

提示

題解