數學實驗：右側的模擬程式描述了圓 \(\displaystyle{ C }\)：\(\displaystyle{ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\) 與任意點 \(\displaystyle{Q\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) }\) 的位置關係。 改變圓的方程的一般式的各個參數 (\(\displaystyle{ D }\)、\(\displaystyle{E }\)、\(\displaystyle{ F }\)) 或移動點 \(\displaystyle{Q }\) 的位置，觀察表達式 \(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F }\) 的大小與點 \(\displaystyle{Q }\) 與圓的位置關係有無必然聯繫，回答以下問題：
(1) 當點 \(\displaystyle{Q }\) 在圓上時，則 \(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F }\)
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小於 \(0\) |
等於 \(0\) |
大於 \(0\) |
與 \(0\) 的關係不確定 |
(2) 當點 \(\displaystyle{Q }\) 在圓內時，則 \(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F }\)
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小於 \(0\) |
等於 \(0\) |
大於 \(0\) |
與 \(0\) 的關係不確定 |
(3) 當點 \(\displaystyle{Q }\) 在圓外時，則 \(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F }\)
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小於 \(0\) |
等於 \(0\) |
大於 \(0\) |
與 \(0\) 的關係不確定 |
對於圓 \(\displaystyle{ C }\)：\(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\) 和點 \(\displaystyle{Q\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) }\)：
若 \(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F \lt 0 }\)，則 \(\displaystyle{ Q }\) 點在圓 \(\displaystyle{ C }\) 內；
若 \(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F = 0 }\)，則 \(\displaystyle{ Q}\) 點在圓 \(\displaystyle{ C }\) 上；
若 \(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F \gt 0 }\)，則 \(\displaystyle{ Q }\) 點在圓 \(\displaystyle{ C }\) 外。
在上一課中，我們已經學過：在直角坐標平面上，已知一個圓心為 \(\displaystyle{ C }\)，半徑為 \(\displaystyle{ r }\) 的圓，另有一點 \(\displaystyle{Q\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) }\)，可根據線段 \(\displaystyle{CQ }\) 與半徑 \(\displaystyle{ r }\) 的大小關係來判定該點與圓的位置關係。
對於圓 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\)，圓心 \(\displaystyle{C }\) 為 \(\displaystyle{\left( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right) }\)，半徑 \(\displaystyle{ r }\) 為 \(\displaystyle{\sqrt{{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{E}{2} \right)}^{2}}-F} }\)，因此，對於點 \(\displaystyle{Q\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) }\)，\(\displaystyle{CQ=\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}+\frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}+\frac{E}{2} \right)}^{2}}} }\)。
當 \(\displaystyle{ CQ \lt r }\)，則點 \(\displaystyle{ Q }\) 在圓內，即 \(\displaystyle{\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}+\frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}+\frac{E}{2} \right)}^{2}}} \lt \sqrt{{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{E}{2} \right)}^{2}}-F} }\)， 化簡得：\(\displaystyle{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F \lt 0 }\)。
所以，當 \(\displaystyle{ {{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F \lt 0 }\) 時，點 \(\displaystyle{ Q }\) 在圓內。
同理，當 \(\displaystyle{ {{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F = 0 }\) 時，點 \(\displaystyle{ Q }\) 在圓上；
當 \(\displaystyle{ {{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+D{{x}_{0}}+E{{y}_{0}}+F \gt 0 }\) 時，點 \(\displaystyle{ Q }\) 在圓外。
已知圓 \(\displaystyle{ C }\) 的方程為 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3x-5y-4=0 }\)，判斷以下三點與圓的位置關係：
(1) 點 \(\displaystyle{P\left( 1,0 \right) }\)
(2) 點 \(\displaystyle{Q\left( -2,3 \right) }\)
(3) 點 \(\displaystyle{R\left( -1,-4 \right) }\)
解：根據判定圓與點的位置關係的定理可得：
將 \(\displaystyle{\left( 1,0 \right) }\) 代入 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3x-5y-4 }\) 中得：
\(\displaystyle{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+3\times 1-5\times 0-4=0 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 點 \(\displaystyle{P\left( 1,0 \right) }\) 在圓 \(\displaystyle{ C }\) 上
將 \(\displaystyle{\left( -2,3 \right) }\) 代入 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3x-5y-4 }\) 中得：
\(\displaystyle{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+3\times \left( -2 \right)-5\times 3-4=-12 \lt 0 }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 點 \(\displaystyle{Q\left( -2,3 \right) }\) 在圓 \(\displaystyle{ C }\) 內
將 \(\displaystyle{\left( -1,-4 \right) }\) 代入 \(\displaystyle{ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3x-5y-4 }\) 中得：
\(\displaystyle{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+3\times \left( -1 \right)-5\times \left( -4 \right)-4=30 \gt 0 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 點 \(\displaystyle{R\left( -1,-4 \right) }\) 在圓 \(\displaystyle{ C }\) 外