圓心為 \(\displaystyle{\left( h,k \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{ r }\) 的圓的方程的標準式為 \(\displaystyle{{{\left( x-h \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}={{r}^{2}} }\)，展開此方程，得：
\(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\left( -2h \right)x+\left( -2k \right)y+\left( {{h}^{2}}+{{k}^{2}}-{{r}^{2}} \right)=0 }\)
設 \(\displaystyle{D=-2h }\)，\(\displaystyle{E=-2k }\) 和 \(\displaystyle{F={{h}^{2}}+{{k}^{2}}-{{r}^{2}} }\)，則圓的方程可寫為：
\(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\)
方程 \(\displaystyle{ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\) (其中 \(\displaystyle{ D }\)、\(\displaystyle{ E }\)、\(\displaystyle{F }\) 為常數) 稱為圓的方程的一般式。
注意：圓的方程的一般式有以下幾個特點：
\(\displaystyle{{{x}^{2}} }\) 與 \(\displaystyle{{{y}^{2}} }\) 的係數均為 \(\displaystyle{1 }\)；
方程是二元二次方程，但沒有 \(\displaystyle{ xy }\) 項；
方程的右側為零。
由圓的一般式 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\) 對應於標準式 \(\displaystyle{{{\left( x-h \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}={{r}^{2}} }\) 的關係：\(\displaystyle{ D=-2h }\)，\(\displaystyle{ E=-2k }\) 和 \(\displaystyle{F={{h}^{2}}+{{k}^{2}}-{{r}^{2}} }\) 可知：
對於圓的方程 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\)：
圓心的坐標是 \(\displaystyle{\left( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right) }\)；
半徑是 \(\displaystyle{\sqrt{{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{E}{2} \right)}^{2}}-F} }\)。
根據圓的半徑 \(\displaystyle{\sqrt{{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{E}{2} \right)}^{2}}-F} }\) 的值，將圓分類：
若 \(\displaystyle{{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{E}{2} \right)}^{2}}-F \gt 0 }\)，則該圓的半徑是個實數，該圓稱為實圓 (real circle)；
若 \(\displaystyle{{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{E}{2} \right)}^{2}}-F = 0 }\)，則該圓的半徑為零，該圓的方程表示的是一個點，該圓稱為點圓 (point circle)；
若 \(\displaystyle{{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{E}{2} \right)}^{2}}-F \lt 0 }\)，則該圓的半徑是個虛數，不能畫出來此圓，該圓稱為虛圓 (imaginary circle)。
求圓 \(\displaystyle{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+4x-3y-1=0 }\) 的圓心和半徑。
解：先將圓的方程中 \(\displaystyle{{{x}^{2}} }\) 與 \(\displaystyle{{{y}^{2}} }\) 的係數變為 \(\displaystyle{ 1 }\)，即圓的方程轉變為 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=0 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 圓心為 \(\displaystyle{\left( -1,\frac{3}{4} \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{ \sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}-\left( -\frac{1}{2} \right)}=\frac{\sqrt{33}}{4} }\)。
求圓心 \(\displaystyle{ C }\) 在 \(\displaystyle{\left( 1 , -2 \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{ 3 }\) 的圓的方程的一般式。
解：該圓的方程為 \(\displaystyle{ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left[ y-\left( -2 \right) \right]}^{2}}={{3}^{2}} }\)
即 \(\displaystyle{ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9 }\)
展開方程，即得到圓的方程的一般式：\(\displaystyle{ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0 }\)
若方程 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+3y+k=0 }\) 表示一個實圓，求 \(\displaystyle{ k}\) 的取值範圍。
解：\(\displaystyle{\because }\) 方程 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+3y+k=0 }\) 表示一個實圓
\(\displaystyle{\therefore {{\left( \frac{-2}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-k \gt 0 }\)
\(\displaystyle{\therefore k \lt \frac{13}{4} }\)
已知圓 \(\displaystyle{ C }\) 通過原點、\(\displaystyle{P\left( 1,3 \right) }\) 和 \(\displaystyle{Q\left( -2,4 \right) }\) 三點，求該圓的方程。
解：設圓的方程為 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0 }\)
\(\displaystyle{\because }\) 圓通過原點、 \(\displaystyle{ P\left( 1,3 \right) }\) 和 \(\displaystyle{ Q\left( -2,4 \right) }\)
\(\displaystyle{\therefore \left\{ \begin{align} & 0+0+D\times 0+E\times 0+F=0 \\ & 1+9+D+3E+F=0 \\ & 4+16-2D+4E+F=0 \\ \end{align} \right. }\)
解得：\(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & D=2 \\ & E=-4 \\ & F=0 \\ \end{align} \right. }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 圓的方程為 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y=0 }\)