在直角坐標平面上，已知一個圓心為 \(\displaystyle{C\left( h,k \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{ r }\) 的圓，另有一點 \(\displaystyle{Q\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) }\)，可根據線段 \(\displaystyle{ CQ }\) 的長度來判定該點與圓的位置關係，如圖所示，即：
若 \(\displaystyle{ CQ \lt r }\)，則點 \(\displaystyle{ Q}\) 在圓內；
若 \(\displaystyle{ CQ=r }\)，則點 \(\displaystyle{Q }\) 在圓上；
若 \(\displaystyle{ CQ \gt r }\)，則點 \(\displaystyle{ Q }\) 在圓外；
其中 \(\displaystyle{CQ=\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}-h \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-k \right)}^{2}}} }\)。
已知圓的方程為 \(\displaystyle{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9 }\)，判斷以下三點與圓的位置關係：
(1) 點 \(\displaystyle{P\left( 1,2 \right) }\)
(2) 點 \(\displaystyle{Q\left( -2,4 \right) }\)
(3) 點 \(\displaystyle{R\left( -1,3 \right) }\)
解：該圓的圓心 \(\displaystyle{ C }\) 的坐標為 \(\displaystyle{\left( -2,1 \right) }\)，半徑 \(\displaystyle{ r=3 }\)
\(\displaystyle{CP=\sqrt{{{\left( -2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{10} \gt 3 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 點 \(\displaystyle{P\left( 1,2 \right) }\) 在此圓外。
\(\displaystyle{CQ=\sqrt{{{\left( -2+2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-4 \right)}^{2}}}=3 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 點 \(\displaystyle{ Q\left( -2,4 \right) }\) 在此圓上。
\(\displaystyle{CR=\sqrt{{{\left( -2+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{5} \lt 3 }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 點 \(\displaystyle{R\left( -1,3 \right) }\) 在此圓內。