在「軌跡」模組中，我們學過當 \(\displaystyle{ P }\) 點在平面上移動，並與某固定點保持固定的距離時，\(\displaystyle{ P }\) 點的軌跡是一個圓，該固定點是圓心，該固定距離是半徑。若把這個圓放在直角坐標平面上，便可以用方程來描述該圓。
假設該圓的圓心為 \(\displaystyle{C\left( h,k \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{ r }\)，如右圖所示：
設點 \(\displaystyle{P\left( x,y \right) }\) 為該圓上任意一點，則 \(\displaystyle{ CP=r }\)
根據距離公式：\(\displaystyle{CP=\sqrt{{{\left( x-h \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}}=r }\)
即 \(\displaystyle{{{\left( x-h \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}={{r}^{2}} }\)
結論：圓心為 \(\displaystyle{C\left( h,k \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{ r }\) 的圓的方程為 \(\displaystyle{{{\left( x-h \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}={{r}^{2}} }\)，這個方程稱為圓的方程的標準式。
若一個圓的圓心在原點 \(\displaystyle{\left( 0,0 \right) }\) 上，半徑為 \(\displaystyle{ r }\)，則該圓的方程是 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}} }\)。
根據圓的方程的標準式 \(\displaystyle{{{\left( x-h \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}={{r}^{2}} }\)，可得：圓心的坐標為 \(\displaystyle{C\left( h,k \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{ r }\)。
注意：圓的方程是一個二元二次方程，方程的左側，\(\displaystyle{{{\left( x-h \right)}^{2}} }\) 與 \(\displaystyle{{{\left( y-k \right)}^{2}} }\) 的係數都是 \(\displaystyle{ 1 }\)；方程的右側不含變數，是半徑的平方數，而不是半徑。
求圓心 \(\displaystyle{ C }\) 在 \(\displaystyle{\left( -2,3 \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{4 }\) 的圓的方程。
解：該圓的方程為 \(\displaystyle{{{\left[ x-\left( -2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{4}^{2}} }\)
即 \(\displaystyle{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=16 }\)
已知圓心位於 \(\displaystyle{C\left( 1,-3 \right) }\)，且通過點 \(\displaystyle{P\left( -1,4 \right) }\)，求該圓的方程。
解：該圓的半徑 \(\displaystyle{r=CP=\sqrt{{{\left( -1-1 \right)}^{2}}+{{\left[ 4-\left( -3 \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{53} }\)
該圓的方程為 \(\displaystyle{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=53 }\)
已知連接點 \(\displaystyle{A\left( -2,2 \right) }\) 和點 \(\displaystyle{B\left( 1,6 \right) }\) 的線段 \(\displaystyle{ AB }\) 是一個圓的直徑，求該圓的方程。
解：圓的圓心為 \(\displaystyle{ AB }\) 的中點，即：\(\displaystyle{\left( \frac{-2+1}{2},\frac{2+6}{2} \right)=\left( -\frac{1}{2},4 \right) }\)
圓的半徑為線段 \(\displaystyle{ AB }\) 長度的一半，即：\(\displaystyle{\frac{\sqrt{{{\left( -2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-6 \right)}^{2}}}}{2}=\frac{5}{2} }\)
該圓的方程為 \(\displaystyle{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=\frac{25}{4} }\)
求圓 \(\displaystyle{4{{\left( x-3 \right)}^{2}}+4{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9 }\) 的圓心和半徑。
解：先將圓的方程中 \(\displaystyle{{{\left( x-3 \right)}^{2}} }\) 與 \(\displaystyle{{{\left( y+1 \right)}^{2}} }\) 的係數變為 \(\displaystyle{ 1 }\)，即圓的方程轉變為 \(\displaystyle{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=\frac{9}{4} }\)
\(\displaystyle{\therefore }\) 圓心為 \(\displaystyle{\left( 3,-1 \right) }\)，半徑為 \(\displaystyle{\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2} }\)。