在這一課中，我們已經討論過因式定理及其應用，這一節將討論應用因式定理的限制。讓我們看看以下例子。
例子一：設\(\;f(x)=x^3-3x^2-x+2\)。
在附設的模擬模型中，移動數值滑桿來輸入\(\;f(x)=x^3-3x^2-x+2\)，並回答以下問題。
如果\(\;ax+b\;\)是\(\;f(x)\;\)的因式，\(a,b\;\)均為整數且\(\;a>0\)，\(ax+b\;\)有以下哪些可能性？
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\(x+1\) |
\(x+2\) |
\(x+3\) |
\(x+4\) |
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\(x-1\) |
\(x-2\) |
\(x-3\) |
\(x-4\) |
把這些可能的因式逐一輸入模擬模型中，你能找到\(\;f(x)\;\)的任何因式嗎？
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能夠找到 |
不能夠 |
事實上，\(f(x)\;\)的三個根大約是\(\;x=-0.861\)、\(x=0.746\;\)及\(\;x=3.115\)，它們都不是有理數。從這個例子可以發現，若多項式因式的係數不是有理數時，因式定理便無法應用。
例子二：設\(\;f(x)=x^4-5x^2+6\)。
在右面的模擬模型中，移動數值滑桿來輸入\(\;f(x)=x^4-5x^2+6\)，並回答以下問題。
把所有\(\;f(x)\;\)可能的因式逐一輸入模擬模型中，你能找到\(\;f(x)\;\)的任何因式嗎？
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能夠找到 |
不能夠 |
現在設\(\;y=x^2\)。你能把\(\;f(x)\;\)因式分解嗎？
可以！把\(\;y=x^2\;\)代入，可得
\begin{align*} f(x) &= x^4-5x^2+6 \\ &= y^2-5y+6 \\ &= (y-2)(y-3) \\ &= (x^2-2)(x^2-3) \end{align*}解方程\(\;f(x)=0\)。
根據 3. 對\(\;f(x)\;\)的因式分解，可得
\begin{align*} f(x) &= 0 \\ (x^2-2)(x^2-3) &= 0 \\ x^2-2 &= 0 ~\hbox{或}~ x^2-3=0 \\ x &= \pm\sqrt{2} ~\hbox{或}~ \pm\sqrt{3} \end{align*}這個例子中，\(f(x)\;\)可以被分解成係數為整數的多項式，但這些因式的次數都大於\(\;1\)。從這個例子可以發現，若多項式因式的次數均大於\(\;1\;\)時，因式定理便無法應用。
當分解多項式時遇上以下情況，便不能應用因式定理來進行因式分解：