[興倫智能課堂] 多項式的運算

第一節多項式的加法和減法

多項式的加法

計算多項式加法的方法有兩種，分別是橫式計算和直式計算。

例子：求\(\;(2x^3-2x^2+4x+1)+(-x^3+2x^2+3x-2)\;\)

第一步：

去括號

\begin{align*} & (2x^3-2x^2+4x+1)+\color{red}{(-x^3+2x^2+3x-2)} \\ =& 2x^3-2x^2+4x+1\color{red}{-x^3+2x^2+3x-2} \\ \phantom{=} & \phantom{2x^3-x^3-2x^2+2x^2+4x+3x+1-2} \\ \phantom{=} & \phantom{x^3+7x-1} \end{align*}

第二步：

合併同類項

\begin{align*} & (2x^3-2x^2+4x+1)+(-x^3+2x^2+3x-2) \\ =& \color{red}{2x^3}\color{green}{-2x^2}\color{cyan}{+4x}\color{blue}{+1}\color{red}{-x^3}\color{green}{+2x^2}\color{cyan}{+3x}\color{blue}{-2} \\ =& \color{red}{2x^3-x^3}\color{green}{-2x^2+2x^2}\color{cyan}{+4x+3x}\color{blue}{+1-2} \\ \phantom{=} & \phantom{x^3+7x-1} \end{align*}

第三步：

化簡，並按降幂排列多項式

上一步下一步

第一步：

將同類項按降幂排列放於同一直行中

\[\begin{array}{r} 2x^3-2x^2+4x+1 \\ \underline{+)~~ -\phantom{0}x^3+2x^2+3x-2} \\ \phantom{x^3+0x^2+7x-1} \end{array}\]

第二步：

對同類項做加法運算，得出結果

\[\begin{array}{r} 2x^3-2x^2+4x+1 \\ \underline{+)~~ -\phantom{0}x^3+2x^2+3x-2} \\ x^3\phantom{ {}+0x^2}+7x-1 \end{array}\]

上一步下一步

多項式的減法

減法跟加法類似，我們可以用橫式計算或直式計算。

例子：求\(\;(x^3+4x-1)-(-2x^3+x^2+4x-2)\;\)

第一步：

去括號，注意去括號時需改變正負號

\begin{align*} & (x^3+4x-1)-(-2x^3+x^2+4x-2) \\ =& x^3+4x-1\color{red}{+}2x^3\color{red}{-}x^2\color{red}{-}4x\color{red}{+}2 \\ \phantom{=} & \phantom{x^3+2x^3-x^2+4x-4x-1+2} \\ \phantom{=} & \phantom{3x^3-x^2+1} \end{align*}

第二步：

合併同類項

\begin{align*} & (x^3+4x-1)-(-2x^3+x^2+4x-2) \\ =& \color{red}{x^3}\color{cyan}{+4x}\color{blue}{-1}\color{red}{+2x^3}\color{green}{-x^2}\color{cyan}{-4x}\color{blue}{+2} \\ =& \color{red}{x^3+2x^3}\color{green}{-x^2}\color{cyan}{+4x-4x}\color{blue}{-1+2} \\ \phantom{=} & \phantom{3x^3-x^2+1} \end{align*}

第三步：

化簡，並按降幂排列多項式

上一步下一步

第一步：

將同類項按降幂排列放於同一直行中，注意在需要時補充缺項

\[\begin{array}{r} x^3\color{red}{+0x^2}+4x-1 \\ \underline{-)~~ -2x^3+\phantom{0}x^2+4x-2} \\ \phantom{3x^3-0x^2+0x+1} \end{array}\]

第二步：

對同類項做減法運算得出結果

\[\begin{array}{r} x^3\color{red}{+0x^2}+4x-1 \\ \underline{-)~~ -2x^3+\phantom{0}x^2+4x-2} \\ 3x^3-\phantom{0}x^2\phantom{ {}+0x}+1 \end{array}\]

上一步下一步

活動 - 探討加法和減法對次數和常數項的影響

設\(\;f(x)=2x^2-x+1, g(x)=2x^3-x+1\)，請完成下表。

	\(f(x)\)	\(g(x)\)	\(f(x)+g(x)\)
次數
常數項

設\(\;f(x)=2x^3-3x^2-x+2, g(x)=2x^3+4x-3\)，請完成下表。

	\(f(x)\)	\(g(x)\)	\(f(x)+g(x)\)
次數
常數項

設\(\;f(x)=x^3-x^2+x, g(x)=-x^3+x^2+1\)，請完成下表。

	\(f(x)\)	\(g(x)\)	\(f(x)+g(x)\)
次數
常數項

從以上活動中，你能看到\(\;f(x),g(x)\;\)和\(\;f(x)+g(x)\;\)的次數和常數項之間的關係嗎？

                                \(f(x)+g(x)\;\)的次數 \(\leq\) \(f(x)\;\)的次數和\(\;g(x)\;\)的次數之中較高者；
\(f(x)+g(x)\;\)的常數項 = \(f(x)\;\)的常數項\(\;+~g(x)\;\)的常數項。

減法時的情形