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  4. 第三課 直線方程的一般式
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第一節 直線方程的一般式
直線方程的一般式

如果留意上一課中找直線的各種方法，我們會發現所得的直線方程都可寫成\(\;Ax+By+C=0\;\)的形式。換言之，所有平面上的直線都可以寫成這個形式，稱為直線方程的一般式：

直線方程的一般式為

\begin{equation*} Ax+By+C = 0 \end{equation*}

其中\(\;A\)、\(B\;\)和\(\;C\;\)均為常數，而\(\;A\;\)和\(\;B\;\)不能同時為零。

思考
練習 — 把直線方程化為一般式
從一般式中找出直線的截距和斜率

在附設的模擬模型中，直線的方程為 \begin{equation} L:~Ax+By+C=0 \label{eqngeneralform} \end{equation} 你可以移動數值滑桿改變\(\;A\)、\(B\;\)和\(\;C\;\)的值，直線的方程、截距和斜率會自動顯示出來。

活動一：從一般式中找出\(\;x\;\)軸截距

  1. 首先設定\(\;A=1\)，並改變\(\;B\;\)的值，這時\(\;x\;\)軸截距會
    • 隨 B 增加而變大
    • 隨 B 增加而變小
    • 維持不變
      
  2. 繼續保持\(\;A=1\)，這次改變\(\;C\;\)的值，\(x\;\)軸截距會
    • 隨 C 增加而變大
    • 隨 C 增加而變小
    • 維持不變
      
  3. 現在設定\(\;C=1\;\)，在正數範圍內改變\(\;A\;\)的值，\(\;x\;\)軸截距會
    • 隨 A 增加而變大
    • 隨 A 增加而變小
    • 維持不變
      
  4. 設定\(\;C=-1\;\)，在正數範圍內改變\(\;A\;\)的值，\(\;x\;\)軸截距會
    • 隨 A 增加而變大
    • 隨 A 增加而變小
    • 維持不變
      

  5. 試試移動數值滑桿改變直線方程的系數，並觀察\(\;x\;\)軸截距的變化。試猜猜\(\;x\;\)軸截距的公式：

    \(x\;\)軸截距\(\phantom{}=\phantom{}\)
    • A
    • B
    • C
    • -A
    • -B
    • -C
     \(\;/\;\)
    • A
    • B
    • C
      

活動二：從一般式中找出\(\;y\;\)軸截距

  1. 首先設定\(\;B=1\)，並改變\(\;A\;\)的值，這時\(\;y\;\)軸截距會
    • 隨 A 增加而變大
    • 隨 A 增加而變小
    • 維持不變
      
  2. 繼續保持\(\;B=1\)，這次改變\(\;C\;\)的值，\(y\;\)軸截距會
    • 隨 C 增加而變大
    • 隨 C 增加而變小
    • 維持不變
      
  3. 現在設定\(\;C=1\;\)，在正數範圍內改變\(\;B\;\)的值，\(\;y\;\)軸截距會
    • 隨 B 增加而變大
    • 隨 B 增加而變小
    • 維持不變
      
  4. 設定\(\;C=-1\;\)，在正數範圍內改變\(\;B\;\)的值，\(\;y\;\)軸截距會
    • 隨 B 增加而變大
    • 隨 B 增加而變小
    • 維持不變
      

  5. 試試移動數值滑桿改變直線方程的系數，並觀察\(\;y\;\)軸截距的變化。試猜猜\(\;y\;\)軸截距的公式：

    \(y\;\)軸截距\(\phantom{}=\phantom{}\)
    • A
    • B
    • C
    • -A
    • -B
    • -C
     \(\;/\;\)
    • A
    • B
    • C
      

活動三：從一般式中找出斜率

  1. 首先設定\(\;B=1\)，並改變\(\;A\;\)的值，這時斜率會
    • 隨 A 增加而變大
    • 隨 A 增加而變小
    • 維持不變
      
  2. 繼續保持\(\;B=1\)，這次改變\(\;C\;\)的值，斜率會
    • 隨 C 增加而變大
    • 隨 C 增加而變小
    • 維持不變
      
  3. 現在設定\(\;A=1\;\)，在正數範圍內改變\(\;B\;\)的值，斜率會
    • 隨 B 增加而變大
    • 隨 B 增加而變小
    • 維持不變
      
  4. 設定\(\;A=-1\;\)，在正數範圍內改變\(\;B\;\)的值，斜率會
    • 隨 B 增加而變大
    • 隨 B 增加而變小
    • 維持不變
      

  5. 試試移動數值滑桿改變直線方程的系數，並觀察\(\;y\;\)軸截距的變化。試猜猜\(\;y\;\)軸截距的公式：

    \(y\;\)軸截距\(\phantom{}=\phantom{}\)
    • A
    • B
    • C
    • -A
    • -B
    • -C
     \(\;/\;\)
    • A
    • B
    • C
      

對於直線

\begin{equation*} L: ~ Ax+By+C = 0 \end{equation*}

我們有

  1. \(L\;\)的\(\;x\;\)軸截距為\(\;-\frac{C}{A}\)；
  2. \(L\;\)的\(\;y\;\)軸截距為\(\;-\frac{C}{B}\)；
  3. \(L\;\)的斜率為\(\;-\frac{A}{B}\)。

  • 若\(\;A=0\)，則\(\;L\;\)是一條水平線，它沒有\(\;x\;\)軸截距。
  • 若\(\;B=0\)，則\(\;L\;\)是一條鉛垂線，它沒有\(\;y\;\)軸截距，斜率也沒有定義。
直線方程的一般式
練習 — 找出直線的截距和斜率 延伸資料：直線方程的法線式
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