如右圖所示，若我們知道直線\(\;L\;\)和\(\;O\;\)的距離為\(\;p\)，\(P\;\)是在\(\;L\;\)上使得\(\;OP\;\)垂直於\(\;L\;\)的一點，即\(\;OP\;\)的長度為\(\;p\)。若\(\;OP\;\)和正\(\;x\;\)軸以逆時針方向形成的角為\(\;\alpha\)，則我們可以寫出\(\;L\;\)的方程：

假設\(\;0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ\)。設\(\;Q\;\)和\(\;R\;\)分別為\(\;L\;\)和\(\;x\;\)軸及\(\;y\;\)軸的交點，考慮直角三角形\(\;OPQ\;\)和\(\;OPR\;\)可得

\begin{align*} OQ &= \frac{p}{\cos\alpha}, & OR &= \frac{p}{\sin\alpha} \end{align*}

即\(\;L\;\)的\(\;x\;\)軸和\(\;y\;\)軸截距分別為\(\;\frac{p}{\cos\alpha}\;\)和\(\;\frac{p}{\sin\alpha}\)。利用截距式可得

\begin{align*} \frac{x}{\frac{p}{\cos\alpha}} + \frac{y}{\frac{p}{\sin\alpha}} &= 1 \\ x\cos\alpha + y\sin\alpha &= p \end{align*}

同樣地，當\(\;\alpha\;\)在其他象限時，我們會得到相同的公式，這就是直線\(\;L\;\)的法線式。

我們可用如下的方法把一般式寫成法線式：首先注意法線式本身就是一般式的一種，而法線式中\(\;x\;\)的係數和\(\;y\;\)的係數的平方和為\(\;1\)。因此，我們只需要把一般式的係數除以共同因子，使其中\(\;x\;\)的係數和\(\;y\;\)的係數的平方和為\(\;1\)，再把常數項放在另一邊（注意常數項必須是正數），就是法線式。

看例子

首先我們把\(\;L\;\)寫成如下形式：

\begin{align*} Ax + By + C &= 0 \\ A(x-x_1) + B(y-y_1) + C + (Ax_1+By_1) &= 0 \\ A(x-x_1) + B(y-y_1) &= -(Ax_1 + By_1 + C) \end{align*}

設\(\;X=x-x_1\;\)及\(\;Y=y-y_1\)，則上式變成

\begin{align*} AX+BY &= -(Ax_1 + By_1 + C) \\ \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}X + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}Y &= \frac{-(Ax_1 + By_1 + C)}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{align*}

所以\(\;L\;\)和點\(\;(X,Y)=(0,0)\;\)的距離為（注意根據\(\;Ax_1 + By_1 + C\;\)的正負，上式不一定是法線式，但因為加上絕對值，所以不影響計算距離。）

\begin{equation*} d = \left\vert \frac{-(Ax_1 + By_1 + C)}{\sqrt{A^2+B^2}} \right\vert = \left\vert \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right\vert \end{equation*}

最後，由於\(\;X=x-x_1\;\)及\(\;Y=y-y_1\)，所以點\(\;(X,Y)=(0,0)\;\)就是點\(\;(x,y)=(x_1,y_1)\)，即以上的距離就是我們要找的距離。

例子：求直線\(\;L:\;2x-y-6=0\;\)和點\(\;P(2,2)\;\)之間的距離。

看解答