考慮一個以首項為 \(a\) 及公比為 \(r\) (其中 \(r \ne 1\)) 的等比數列。它首 \(n\) 項之和可寫為
考慮以下的等差數列
\(S_n = a + ar + ar^2 + \dotso + ar^{n-2} + ar^{n-1} \ \ \dotso \dotso (1)\)
將 \((1)\) 式兩邊同時乘以 \(r\)，
\(rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dotso + ar^{n-1} + ar^{n} \ \dotso \dotso (2)\)
\((2) - (1)\)，
\(\begin{align*} rS_n - S_n &= ar^n - a \\ (r - 1)S_n &= a(r^n - 1) \\ \therefore {\kern 20pt} S_n &= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\end{align*}\)
我們可以得到以下等比數列的求和的方法：
對於一個以首項為 \(a\) 及公比為 \(r\) 的等比數列，其首 \(n\) 項之和可為
\[S_n = \displaystyle{\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}}，\;其中\; r \ne 1。\]
若 \(r \lt 1\)，則公式可寫為
\[S_n = \displaystyle{\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}}，\;其中\; r \ne 1。\]