求等比數列 \(1 + 3 + 9 + \dotso\) 第 \(12\) 項的值及首 \(12\) 項的和。
請在空位中填上適當的答案。
\(a = \)
\(r = \,\)
\(n = \)
\(r = \displaystyle{\frac{第二項}{首項}}= \displaystyle{\frac{T_2}{T_1}}\)
設某等比數列至 \(n\) 項的和的公式是 \(5^n – 1\)。求等比數列首項的值及其公比。
請在空位中填上適當的答案。
設等比數列的首項為 \(T_1\)，公比為 \(r\)。
第一步：
以下哪一項是正確？
| \(1.\) | \(r = 5\) | 答案是對，但你必須解釋公式中的分母為何不存在。 |
| \(2.\) | \(T_1 = -1\) | \(-1\) 是等比數列和的公式中的一部分。 |
| \(3.\) | \(T_1 = S_1\) | 等比數列至首項的和與首項相等。 |
| \(4.\) | 不能計算到 \(T_1\) | 題目中的資料不足夠。 |
第二步：
考慮 \(T_1 = S_1\)，即等比數列的首一項的和是該數列的首項。
\(\begin{align*} T_1 &= S_1 \\ &= 5_1 - 1 \\ &= 4 {\kern 20pt} \end{align*}\)\(\blacktriangleright \;\) 代 \(n = 1\) 至比數列至 \(n\) 項的和的公式 \(5^n – 1\)。
\(\therefore\)等比數列的首項是 \(4\)。
下一步應該採取以下哪一步驟？
第三步：
\(\begin{align*} S_2 &= 5_2 - 1 \\ &= 24\end{align*}\)\(\blacktriangleright \;\) 代 \(n = 2\) 至比數列至 \(n\) 項的和的公式 \(5^n – 1\)。
\(\begin{align*} \therefore \ \ \ 24 &= T_1 + T_2 \\ &= 4 + T_2 \\ T_2 &= 20 \end{align*}\)
從數列的首兩項 \(T_1\) 及 \(T_2\)，
\(\begin{align*} r &= \displaystyle{\frac{T_2}{T_1}} \\ &= \displaystyle{\frac{20}{4}} \\ &= 5\end{align*}\)
\(\therefore\)等比數列的公比是 \(5\)。