考慮一個以首項為 \(a\) 及公比為 \(r\) (其中 \(r \ne 1\)) 的等比數列。
這等比數列首 \(n\) 項之和可寫為
\[S_n = a + ar + ar^2 + \dotso + ar^{n-2} + ar^{n-1}\ \; 。\]
在這一節中，我們將會以數學實驗來了解等比數列的和的意義。
在右面的模擬模型中，所有的四邊形均是相似。\(AB\) 代表首項 \(a\)，\(BC\) 代表第二項 \(ar\)， \(CD\) 代表第三項 \(ar^2\)，如此類推。
若以等比數列首 \(n\) 項之和方式代表，
\(AB = S_1 = a\)
\(AC = AB + BC = S_2 = a + ar\)
\(AD = AB + BC + CD = S_3 = a + ar = ar^2\)
\(\vdots\)
請在模擬模型中移動數值滑桿 \(a\) 及 \(r\) 來分別輸入等比數列的首項及公比的數值，並觀察不同 \(a\) 及 \(r\) 的數值來驗証等比數列求和的公式。
請根據模擬模型及設定 \(a\) 及 \(r\) 的值，並於在以下列表的空格上填上適當的答案，準確至小數點後 \(4\) 位。
請在以下列表的空格上填上適當的數字或答案。
| \(AB\) | \(BC\) | \(CD\) | \(AC\) | \(AD\) | \(MA\) | \(KB\) | \(IC\) | \(\displaystyle{\frac{BC}{AB}}\) | \(\displaystyle{\frac{CD}{BC}}\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(a=2\\r=0.5\) | \(2\) | \(1\) | ||||||||
| \(a=1\\r=0.6\) | \(1\) | \(1\) |
從列表中的數值，我們可以發覺到以下的特性：
\(AB = a\)，
\( BC = AB * r = ar \)，
\( CD = BC \times r = (ar) \times r = ar^2 \)，\(\cdots\)。
因此，\(AB\)，\(BC\)，\(CD\)，\(\cdots\) 組成一個等比數列。
在下一個課件，我們將會詳細討論等比數列的求和的公式及其運用的方法。