在上課我們考慮數列 \(1, 2, 4, 8, 16, \dotso\)，並發覺這個數列中任意一項(首項除外)與前一項的比為
\({\displaystyle{\frac{T_n}{T_{n-1}}}} = 2\)
這個數列中任意一項都可用前一項乘以一個常數來計算，即
\(T_n = rT_{n-1}\) ，
其中 \(r\) 為該常數。我們稱 \(r\) 為 公比 (common ratio)。
這類數列稱為等比數列。
我們有以下的定義。
等比數列是各連續項之間有一個公比的數列。
根據這個定義，若 \(a\) 是等比數列的首項 \(T_1\)， \(r\) 為公比，則
\({\displaystyle{\frac{T_2}{T_1}}} = {\displaystyle{\frac{T_3}{T_2}}} = {\displaystyle{\frac{T_4}{T_3}}} = \dotso = {\displaystyle{\frac{T_n}{T_{n-1}}}} = \dotso = r\)
\(\begin{align*} \therefore {\kern 10pt} T_1 &= a \\ T_2 &= T_1 \times r = ar \\ T_3 &= T_2 \times r = ar \times r = ar^2 \\ T_4 &= T_3 \times r = ar^2 \times r = ar^3 \\ & {\kern 3pt} \vdots \end{align*}\)
根據以上的規律，我們可得
\[T_n = ar^{n-1}，\]
其中 \(n\) 是正整數。
若已知一數列的通項 \(T_n\)，我們如何表達這數列各項的數值？
例如 \(T_n = 2 \times 3^{n - 1}\)，則
首項 \((n = 1)\)：\(T_1 = 2 \times 3\)\(^1\)\(^{- 1} = 2\)
第 \(2\) 項 \((n = 2)\)：\(T_2 = 2 \times 3\)\(^2\)\(^{- 1} = 6\)
第 \(3\) 項 \((n = 3)\)：\(T_3 = 2 \times 3\)\(^3\)\(^{- 1} = 18\)
第 \(4\) 項 \((n = 4)\)：\(T_4 = 2 \times 3\)\(^4\)\(^{- 1} = 54\)
\(\vdots\)
\(\therefore \quad\)我們可得到數列 \(2, 6, 18, 54, \cdots\)。
右面的模擬模型能計算該已知數列的通項 \(T_n = a r^{n - 1}\) 各項的數組，其中 \(a、r\) 為實數，及 \(n\) 為自然數。
請移動第一排的滑桿來選擇 \(a\)；移動第二排的數值滑桿來選擇 \(r\)。這數列的各項會以紅點顯示在數線上。
請再移動第三排的數值滑桿 \(n\) 來選擇數列的項數。該項會以線點顯示在數線上。
你看到 \(a\) 和 \(r\) 在通項 \(T_n = a r^{n - 1}\) 中代表甚麼嗎？