在本課中，我們將利用已知數列的項求別該數列的通項。
假設一個等差數列的首項為 \(a\) 及其公比為 \(r\)。則
首項：\(T_1 = a\)
第 \(2\) 項：\(T_2 = T_1 \times r = ar\)
第 \(3\) 項：\(T_3 = T_2 \times r = (ar) \times r = ar^2\)
第 \(4\) 項：\(T_4 = T_3 \times r = (ar^2) \times r = ar^3\)
\(\vdots\)
觀察以上的規律，可得
\(T_n = ar^{n - 1}\)。
等差數列的通項 \(T_n\) 可寫成
\[T_n = ar^{n - 1}，\]
其中 \(a\) 為首項，而 \(r\) 為公比。
考慮等比數列 \(-8, 4, -2, \cdots, -\displaystyle{\frac{1}{32}} \)。
從題目中，首項 \(a = -8\)。
\(\begin{align*} r &= \frac{第 \, 2 \, 項}{第 \, 1 \, 項} (\text{或} r = \frac{第 \, 3 \, 項}{第 \, 2 \, 項}\; \dotso ) \\ &= \frac{4}{-8} \\ &= -\frac{1}{2}\end{align*}\)
\(\therefore \quad 公比 \, r = -\displaystyle{\frac{1}{2}}\)。
從 \(a.\)，得知 \(a = -8\) 及 \(r = -\displaystyle{\frac{1}{2}}\)。
\(\begin{align*} \therefore \quad T_n &= ar^n \\ &= -8 (-\frac{1}{2})^{n - 1} \\ &= \frac{(-2)^3}{(-2)^{n-1}} \\ &= (-2)^{3 - (n-1)} \\ &= (-2)^{4 - n} \\ \therefore \quad T_n &= (-2)^{4 - n}\end{align*}\)。
設該數列的項數為 \(k\)。
\(\begin{align*} \therefore \quad T_k &= -\frac{1}{32} \\ (-2)^{4-k} &= -\frac{1}{32} \\ (-2)^{4-k} &= (-2)^5 \\ 4 - k &= -5 \\ k &= 9 \end{align*}\)
\(\therefore \quad \)該數列共有 \(9\) 項。
在一等比數列中，若第 \(3\) 及第 \(5\) 項分別為 \(36\) 及 \(324\)。求該數列的通項。
設數列的首項為 \(a\) 及公比為 \(r\)。則通項 \(T_n\) 為
\(T_n = ar^{n-1}\)。
已知第 \(3\) 及第 \(5\) 項分別為 \(36\) 及 \(324\)。即
第 \(3\) 項：\(T_3 = ar^2 = 36\) ..... (1)
第 \(5\) 項：\(T_5 = ar^4 = 324\) ..... (2)
\(\begin{align*}(2) \div (1) \text{：} \quad \frac{ar^4}{ar^2} &= \frac{324}{36} \\ r^2 &= 9 \\ r &= 3 \;\; 或 \, -3 \end{align*}\)
我們可以得到以下兩個情景：
| 當 \(r = 3\) | 當 \(r = -3\) |
|---|---|
| \(T_n = a(r)^{n-1} = 4(3)^{n-1}\) | \(T_n = a(r)^{n-1} = 4(-3)^{n-1}\) |
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數列是 \(4, 12,\) \(36\)\(, 108,\) \(324\)\(, ...\)。 |
數列是 \(4, -12,\) \(36\)\(, -108,\) \(324\)\(, ...\)。 |