在前一課的簡介中，我們學會了以一個有系統的方法來表達有限項的公式。在這一課，我們將討論等差數列的求和法。
考慮以下各數列：
\(1, 2, 4, 8, \dotso\)
通項 = \(T_n = 2^n\)
\(\displaystyle{\frac{1}{3}}, \displaystyle{\frac{1}{9}}, \displaystyle{\frac{1}{27}}, \displaystyle{\frac{1}{81}}, \dotso\)
通項 = \(T_n = {\displaystyle{(\frac{1}{3})}}^n\)
\(-10, 20, -40, 80, \dotso \)
通項 = \(T_n = 5(-2)^n\)
注意
從上面的三個例子，由於任意一項(首項除外)與前一項的差皆不相等，因此這些數列並不是等差數列。那麼，這些數列有甚麼共通點呢？
在 \(1, 2, 4, 8, 16, \dotso\) 的數列中，我們可以看到每一項是上一項的 \(2\) 倍。此數列是等比數列的一個例子。
在等比數列中，項 (term)的值可以通過以一常數乘上一項的值。這常數稱為公比 \(r\) (common ratio)。公比可以是正或負。
例如在左邊的第一個數列中：
\(1, 2, 4, 8, 16, \dotso\)：
這個數列中任意一項(首項除外)與前一項的比為
\(\begin{align*} \frac{T_n}{T_{n-1}} &= \frac{2^n}{2^{n-1}} \\ &= 2 \end{align*}\)
\(\therefore \quad\)這個數列中任意一項與前一項的比都是一個常數。
伸延問題
請判斷其他兩個數列 \(\displaystyle{\frac{1}{3}}, \displaystyle{\frac{1}{9}}, \displaystyle{\frac{1}{27}}, \displaystyle{\frac{1}{81}}, \dotso\) 和 \(\displaystyle{\frac{1}{3}}, \displaystyle{\frac{1}{4}}, \displaystyle{\frac{1}{5}}, \displaystyle{\frac{1}{6}}, \dotso\) 是否任意一項與前一項的比都是一個常數？