在本課，我們將利用給定的數列的項求別該數列的通項。
假設一個等差數列的首項為 \(a\) 及其公差為 \(d\)。則
首項：\(T_1 = a\)
第 \(2\) 項：\(T_2 = T_1 + d = a + d\)
第 \(3\) 項：\(T_3 = T_2 + d = (a + d) + d = a + 2d\)
第 \(4\) 項：\(T_4 = T_3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d\)
\(\vdots\)
觀察以上的規律，可得
\(T_n = a + (n - 1)d\)。
等差數列的通項 \(T_n\) 可寫成
\[T_n = a + (n - 1)d，\]
其中 \(a\) 為首項，而 \(d\) 為公差。
考慮等差數列 \(5, 11, 17, 23, \cdots \)。
從題目中，首項 \(a = 5\)。
\(\begin{align*} d &= 第 \, 2 \, 項 - 第 \, 1 \, 項 \\ &= 11 - 5 \\ &= 6 \end{align*}\)
\(\therefore \quad 公差 \, d = 6\)。
從上部，得知 \(a = 5\) 及 \(d = 6\)。
\(\begin{align*} \therefore \quad T_n &= a + (n - 1)d \\ &= 5 + (n - 1)6 \\ &= 5 + 6n - 6 \\ &= 6n - 1 \\ \therefore \quad T_n &= 6n - 1 \end{align*} \)。
從 a. 可得\( T_n = 6n - 1\)
當 \(n = 13\)，
\(\begin{align*} T_{13} &= 6(13) - 1 \\ &= 77 \end{align*} \)
\(\therefore \quad \)該數列的第 \(13\) 項是 \(77\)。
求等差數列 \(15, \blacksquare, \blacksquare, \blacksquare, 31 \) 中欠缺的項。
設數列的首項為 \(a\) 及公差為 \(d\)。
已知首項為 \(15\) 及第五項為 \(31\)。即
\(T_1 = a = 15\) 及 \(T_5 = a + (n - 1)d = 31\)。
\(\begin{align*} \therefore {\kern 20pt} 15 + 4d &= 31 \\ 4d &= 16 \\ d &= 4 \end{align*}\)
欠缺的項為：
第 \(2\) 項：\(T_2 = 15 + 4 = 19\)
第 \(3\) 項：\(T_3 = 15 + 4(2) = 23\)
第 \(4\) 項：\(T_4 = 15 + 4(3) = 27\)