通過韋達定理，我們不需要直接知道二次方程的兩個根，便能夠計算到這兩個根的和及積。這是特別適用於沒有實根的二次方程。
考慮二次方程 \(2x^2 + 3x + 2 = 0\) 及其兩個根 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。
從這二次方程的判別式 \( \Delta = 3^2 - 4(2)(2) = -7 \lt 0 \;\)，我們知道二次方程 \(2x^2 + 3x + 2 = 0\) 沒有實根。
但通過韋達定理，我們可以計算到
兩根的和 \(= \alpha + \beta = - \displaystyle{\frac{b}{a}} = - \displaystyle{\frac{3}{2}}\)
兩根的積 \(= \; \; \alpha \beta \; \, = \displaystyle{\frac{c}{a}}\)\(= 1\)
通過韋達定理，我們不需要直接知道二次方程的兩個根，便能夠計算到兩根的平方和、平方差等關係式。
考慮二次方程 \(3x^2 - 6x - 9 = 0\)。 設其兩個根為 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，求下列各式的值。
根據根與係數的關係，我們可以得到 \(\alpha + \beta\) 及 \(\alpha \beta\) 的值。根據題目的要求，我們需要將 \(\displaystyle{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}}\) 及 \(\alpha^2 + \beta^2\) 化為只含有 \(\alpha + \beta\) 及 \(\alpha \beta\) 的代數式，就能夠得到結果。
根據根與係數的關係，可得
\(\begin{align*} \alpha + \beta &= - \frac{(-6)}{3} = 2 \\ \alpha \beta &= \frac{(-9)}{3} = -3 \\ 1. \ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} &= \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} \\ &= \frac{2}{(-3)} \\ &= -\frac{2}{3} \end{align*}\)
\(\begin{align*} 2. \ \alpha^2 + \beta^2 &= (\alpha^2 + 2\alpha \beta + \beta^2) - 2\alpha \beta \\ &= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta \\ &= (2)^2 - 2(-3) \\ &= 10\end{align*}\)
通過韋達定理，我們可以利用根與係數的關係來求方程中的未知數。
考慮二次方程 \(kx^2 - 3kx + k - 2 = 0 \, (k \ne 0)\) 的兩根之積是 \(3\)，我們可以計算到 \(k\) 的值。
二次方程為 \( kx^2 - 3kx + (k - 2) = 0\)。
從韋達定理有關兩根之積：
\(= \displaystyle{\frac{c}{a}}\) |
||
\(\therefore\) |
\(3\) |
|
\(3k\) |
\( = k - 2\) |
|
\(\therefore \) |
\( k\) |
\( = -1\) |
當 \(k = -1\)，二次方程為
\((-1)x^2 - 3(-1)x + [(-1) - 2] = 0\)，
即 \(x^2 - 3x + 3 = 0\)。
從這二次方程的判別式 \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(3) = -3 \lt 0 \;\)，我們知道二次方程 \(x^2 - 3x + 3 = 0\) 沒有實根。
根據韋達定理，我們也可以計算到
兩根的積 \(= \displaystyle{\frac{c}{a}}\) = \(3\)