請在下表填上根據已知根 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 所建立的二次方程：
| \(二次方程 \\ax^2 + bx + c = 0\) | \(根 \\(\alpha, \beta)\) | \(兩根的和 \\ (\alpha + \beta)\) | \(兩根的積 \\ (\alpha \beta)\) | \(-\large{\frac{b}{a}}\) | \(\large{\frac{c}{a}}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2 + 2x + 1 = 0\) | |||||
| \(x^2 - 25 = 0\) | |||||
| \(x^2 + x - 6 = 0\) | |||||
| \(-x^2 + 6x + 7 = 0\) |
仔細觀察一下這個表格，你能發現什麼規律了嗎？
兩根之和與哪些係數有關？
兩根之積又與哪些係數有關？
韋達定理(Viete's Theorem)涉及有關根與係數的關係如下：
如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) (其中 \(a \ne 0)\) 的兩個根，則
兩根的和 \(=\) |
\( \alpha + \beta \) |
\( = - \displaystyle{\frac{b}{a}}\) |
兩根的積 \(=\) |
\( \alpha \beta \) |
\( = \displaystyle{\frac{c}{a}}\) |
韋達定理可以用兩個方法證明。
由已知根建立二次方程。
假設 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) (其中 \(a \ne 0)\) 的兩個根，則
\((x - \alpha)(x - \beta) \) |
\( = 0\) |
\(x^2 - \alpha x - \beta x + \alpha \beta \) |
\( = 0\) |
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta \) |
\( = 0\)(1) |
比較二次方程的係數。
將原有的二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 兩邊同時除以 \(a\) (\(a \ne 0)\)，
\(x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}\)\(x + \displaystyle{\frac{c}{a}}\)\( = 0\)(2)
因方程 (1) 與 (2) 是同一個方程的兩種形式，
| \(x^2\) | \(-(\alpha + \beta)\) | \(x\) | \(+ \alpha \beta\) | \(= \, 0\) | (1) |
| \(x^2\) | \(+ \displaystyle{\frac{b}{a}}\) | \(x\) | \(+ \displaystyle{\frac{c}{a}}\) | \(= \, 0\) | (2) |
(1) 的係數必與 (2) 的相等。
\(\therefore\) |
\(-(\alpha + \beta) \) |
\( = \displaystyle{\frac{b}{a}}\) |
\(\alpha \beta \) |
\( = \displaystyle{\frac{c}{a}}\) |
\(\therefore\) 我們可得
兩根的和 \(=\) |
\( \alpha + \beta \) |
\( = - \displaystyle{\frac{b}{a}}\) |
兩根的積 \(=\) |
\( \alpha \beta \) |
\( = \displaystyle{\frac{c}{a}}\) |
利用二次公式。
假設 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) (其中 \(a \ne 0)\) 的兩個根。利用二次公式可得
\(\begin{align*} \alpha &= \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}} \\ \beta &= \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\end{align*}\)
計算根的和及積。
\(\alpha + \beta\) |
\( = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\)\(+ \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\) |
\(= -\displaystyle{\frac{b}{a}}\) \((-p + q)(-p - q) = p^2 - q^2\) |
|
\(\alpha \beta \) |
\( = \displaystyle{\frac{(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})(-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{(2a)(2a)}}\) |
\(= \displaystyle{\frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2}}\) |
|
\(= \displaystyle{\frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2}}\) |
|
\(= \displaystyle{\frac{c}{a}}\) |
\(\therefore\) 我們可得
兩根的和 \(=\) |
\( \alpha + \beta \) |
\( = - \displaystyle{\frac{b}{a}}\) |
兩根的積 \(=\) |
\( \alpha \beta \) |
\( = \displaystyle{\frac{c}{a}}\) |