考慮二次方程 \(x^2 + 4x + c = 0\)。
在右面的模擬模型，請以圖象法觀看 \(b\) 的數值和二次方程 \(x^2 + 4x + c = 0\) 的根的性質有甚麼關係。
請在模擬模型的數值滑桿設 \(a = 1 \, 及 \, b = 4\)。
當你移動數值滑桿來輸 \(b\) 的值時，請注意 \(y = x^2 + 4x + c\) 的圖象與 \(x\) 軸的相交(如有)的情況。
設方程 \(x^2 + 4x + c = 0\) 有實根，則根據模擬模型的圖象， \(c\) 的值是甚麽？ (你可以移動 \(c\) 的數值滑桿，直至 \(y = x^2 + 4x + c\) 的圖象與 \(x\) 相交於一或兩點)
在這一課，我們將以判別式來計算類似上面的問題的未知常數的範圍。
設方程 \(x^2 + 4x - 3k - 1 = 0\) 有實根，則 \(k\) 的值的範圍是甚麽？
| \(\because\) | 方程 \(x^2 + 4x - 3k - 1 = 0\) 有實根 | |
| \(\therefore\) | \(\Delta = 4^2 - 4(1)(-3k - 1)\) | \(\ge 0\) |
| \(16 + 12k + 4\) | \(\ge 0\) | |
| \(\therefore\) | \(k\) | \(\ge - \large{\frac{5}{3}}\) |
讓我們利用上面的模擬模型中的圖象解釋計算這例題的目的。
設方程 \(mx^2 + 12x + 6 = 0\) 沒有實根，則 \(m\) 的值的範圍是甚麽？
| \(\because\) | 方程 \(mx^2 + 12x + 6 = 0\) 沒有實根 | |
| \(\therefore\) | \(\Delta = 12^2 - 4(m)(6)\) | \(\lt 0\) |
| \(144 - 24m\) | \(\lt 0\) | |
| \(\therefore\) | \(m\) | \(\gt 6\) |
讓我們利用上面的模擬模型中的圖象解釋計算這例題的目的。
已知下列各二次方程根的性質。請完成下表。
| 二次方程 | 根的性質 | \(k\) 的值 | |
|---|---|---|---|
| \(kx^2 - 14x + 7 = 0\) | 兩個不等實根 | ||
| \(2x^2 + 6x + (k - 1) = 0\) | 沒有實根 | ||
| \(12kx^2 - 60x + 25 = 0\) | 有實根 | ||