[興倫智能課堂] 二次方程的判別式與其根的性質之關係

第一節用判別式求未知常數

數學實驗 — 用判別式求未知常數

考慮二次方程 \(x^2 + bx + 4 = 0\)。

現在利用右面的模擬模型，以圖象法觀看 \(b\) 的數值和二次方程 \(x^2 + bx + 4 = 0\) 的根的性質有甚麼關係。

在右面的模擬模型，請從數值滑桿設 \(a = 1 \, 及 \, c = 4\)。

當你移動數值滑桿來輸入 \(b\) 的值時，請注意 \(y = x^2 + bx + 4\) 的圖象與 \(x\) 軸的相交(如有)的情況。

設方程 \(x^2 + bx + 4 = 0\) 有一個二重實根，則根據模擬模型的圖象， \(b\) 的值是甚麽？(註：你可以移動 \(b\) 的數值滑桿，直至 \(y = x^2 + bx + 4\) 的圖象與 \(x\) 只相交於一點。)

當 \(b = 4 \)，二重實根是 \(-2\)；或

當 \(b = -4 \)，二重實根是 \(2\)。

在這一課，我們將會以判別式來計算類似上述問題的未知常數。

用判別式求未知常數

設方程 \(x^2 + bx + 4 = 0\) 有一個二重實根，則 \(b\) 的值是甚麽？

\( \because\) 方程 \(x^2 + bx + 4 = 0\) 有一個二重實根

\(\begin{align*}\therefore \ \ \Delta = b^2 - 4(1)(4) &= 0 \\ b &= \pm 4 \end{align*}\)

當 \(b = 4 \)，

當 \(b = -4 \)，

我們之所以利用上面的模擬模型來計算這例題是因為：

在模擬模型設方程 \(x^2 + bx + 4 = 0\)。
設 \(b = 4\)。你能否判斷方程的根之性質和值？你的判斷是否符合你計算所得？
設 \(b = -4\)。你能否判斷方程的根之性質和值？你的判斷是否符合你計算所得？
請移動數值滑桿來輸入不同的 \(b\) 的值。除了設 \(b = 4 \, 或 \, -4\) 外，你能否從方程 \(x^2 + bx + 4 = 0\) 再求得一個二重實根？

設方程 \(x^2 + 2x + (k - 3) = 0\) 有一個二重實根，則 \(k\) 的值是甚麽？

\(\because\) 方程 \(x^2 + 2x + (k - 3) = 0\) 有一個二重實根

\(\begin{align*}\therefore \ \ \Delta = 2^2 - 4(1)(k - 3) &= 0 \\ k - 3 &= 1 \\ k &= 4 \end{align*}\)

當 \(k = 4， \, k - 3 = 1， \)

我們之所以利用上面的模擬模型來計算這例題，是因為

活動

已知下列各二次方程只有一個二重實根。請完成下表。