從上一模組，我們現已學會尋找二次方程的根的三個方法。
但若已知二次方程的根，我們能否由已知根來建立二次方程？
首先，讓我們回顧一下以因式法解二次方程的步驟。
 |
\(x^2 - 5x - 6 = 0\) | ||
| \((x + 1)(x - 6) = 0\) | |||
| \(x + 1 = 0\) | 或 | \(x - 6 = 0\) | |
| \(x = -1\) | 或 | \(x = 6\) |
我們可以透過逆轉因式法的步驟來建立二次方程，如下：
| \(x^2 - 5x - 6 = 0\) |  |
||
| \((x + 1)(x - 6) = 0\) | |||
| \(x + 1 = 0\) | 或 | \(x - 6 = 0\) | |
| \(x = -1\) | 或 | \(x = 6\) |
| \(x^2 - 5x - 6 = 0\) | |
||
| \((x + 1)(x - 6) = 0\) | |||
| \(x + 1 = 0\) | 或 | \(x - 6 = 0\) | |
| \(x = -1\) | 或 | \(x = 6\) |
| \(x^2 - 5x - 6 = 0\) | |
||
| \((x + 1)(x - 6) = 0\) | |||
| \(x + 1 = 0\) | 或 | \(x - 6 = 0\) | |
| \(x = -1\) | 或 | \(x = 6\) |
| \(x^2 - 5x - 6 = 0\) | |
||
| \((x + 1)(x - 6) = 0\) | |||
| \(x + 1 = 0\) | 或 | \(x - 6 = 0\) | |
| \(x = -1\) | 或 | \(x = 6\) |
因此，我們可得：
一個以 \(x\) 為變數的二次方程的根若為 \(\alpha \, 和 \, \beta\)，則該方程可寫為
\[ (x - \alpha)(x - \beta) = 0 \]
若已知根為 \(-1\) 和 \(6\)，則它們相應的二次方程為
\((x + 1)(x - 6)= 0\,，\)
現在試移動右面的圖象來理解以已知根建立二次方程的概念。
請打開右面的模擬模型，並移動數值滑桿輸入兩數據組 \(\alpha\) 及 \(\beta\)。這兩個數據代表某二次方程的已知根。如果要模擬一個二重根，你可以輸入兩個相同的數值。
當你在數值滑桿輸入不同 \(k\) 的數值時，模擬模型所顯示相應的二次函數的圖象均與 \(x\) 軸相交於相同的兩點。
例如： 設 \(\alpha = -1, \, \beta = 6\)。
當 \(k = 1\)，\(y = (x + 1)(x - 6)\)；
當 \(k = 2\)，\(y = 2(x + 1)(x - 6)\)。
因此，我們可得：
請在下表填上根據已知根 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 所建立的二次方程：
| \(\alpha\) | \(\beta\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(二次方程 \\ax^2 + bx + c = 0\) | \(1\) | \(3\) | \(1\) | ||
| \(-1\) | \(1\) | \(1\) | |||
| \(-0.5\) | \(2\) | \(-2\) |