第三節 駐波的條件
以振動器產生駐波


除了用手抖動彈簧能造成駐波外,振動器亦能產生駐波。首先將彈性索的一端綁緊到振動器上,再稍為拉長另一端並用鉗子夾住,令彈性索有一定張力。調較平台高底,令彈性索達至水平,然後把振動器連接到訊號產生器。便顯示了這組實驗裝置。

要在彈性索上形成駐波,只需啟動訊號產生器後,慢慢調高輸出頻率至某個數值,便能令彈性索上形成一個波圈的駐波,如所示。

若在的基礎下,不斷調高輸出頻率,情況會如般:

      彈性索最後產生了
  • 1
  • 2
  • 3
個波圈;

二個波圈的駐波:

接着,假使我們再繼續不斷調高輸出頻率(見):

      彈性索最後產生了
  • 1
  • 2
  • 3
個波圈;

三個波圈的駐波:

事實上,若再進一步調高輸出頻率,將能產生更多波圈。

,當輸出頻率正在調高時,您有留意到波圈會消失一會後才重新出現嗎?這仿佛表示,駐波只能在特定頻率下產生?頻率需滿足甚麼條件嗎?接下來我們將分析這個問題。


產生駐波的實驗裝置
一個波圈的駐波
接續的狀態,繼續調高輸出頻率,留意駐波的波圈數目
接續的狀態,繼續調高輸出頻率,留意駐波的波圈數目
駐波的條件

當繩弦上只有一個波源,行波在繩弦末端反射後,形成入射波和反射波疊加,便必定會形成駐波嗎?我們可以根據的駐波實驗的設置,分析形成駐波的條件(如有)。

繩弦的兩端都是固定端時,當我們抖動繩弦使之振動,產生的波經兩固定端反射,相互干涉,疊加後所形成的駐波將如所示。對於固定端,由於反射波有 \(180{}^\circ \) 相變,駐波(即合成波)在固定端位置的位移必定等於零。設正弦波的波長為 \(\lambda \)、頻率為 \(f\),則繩弦的長度 \(l\) 必定是 1/2 個波長的整數倍,即:

\(\displaystyle{l=n\ \frac{{{\lambda }_{n}}}{2}}\)

其中 \(n\) 是大於零的整數 (1, 2, 3, ‧‧‧‧‧‧);\({{\lambda }_{n}}\) 代表不同波長的情況。若繩弦上行波的行進速率等於 \(v\),則繩弦的振動頻率(也是駐波的頻率)等於:

\(\displaystyle{{{f}_{n}}=\frac{v}{{{\lambda }_{n}}}=\frac{n\ v}{2\ l}}\)

換言之,可產生駐波的頻率並非任意的。在上式,\({{f}_{1}}\) 即是只有 1 個波圈時的振動頻率,\({{f}_{2}}\) 是有 2 個波圈時的振動頻率,如此類推。再者,由於 \({{f}_{2}}\) = 2 \({{f}_{1}}\),\({{f}_{3}}\) = 3 \({{f}_{1}}\),‧‧‧,所以 \({{f}_{n}}\) 亦可寫成:

\({{f}_{n}}\) = \(n\) \({{f}_{1}}\)   , \(n\) = 1, 2, 3, ‧‧‧‧‧‧        其中 \(\displaystyle{{{f}_{1}}=\frac{v}{2\ l}}\)


兩端固定的繩弦振盪時,形成駐波的情況及條件
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