第一節 波的反射與相變
脈衝於繩弦末端的反射現象


學習波的反射時,我們曾提到長彈簧或繩弦上的行波在碰到障礙物時,反射波或會出現相變。事實上,因行波在彈簧或繩弦末端會造成反射波,以後我們會了解,這跟駐波的形成有莫大關係。本節將討論繩波朝固定末端 (fixed-end) 或自由末端 (open-end) 傳播時,造成的反射與相變。

要示範這些現象,以彈簧上脈衝於固定端的反射為例,我們可以如般,將軟彈簧放在地上;讓彈簧其中一端連接到堅固的支撐物上(例如檯腳)。先用手拉直軟彈簧,然後迅速擺動彈簧的另一端;擺動方向垂直於彈簧伸展方向,以產生一個沿彈簧前進的橫向脈衝。當脈衝到達固定末端時,會被反射回來。若要示範自由末端的情況,則可改用一個小環將彈簧套在支撐物上(代替將彈簧固定於支撐物),令小環可上下滑動而不受力。若情況為:

固定末端:當入射脈衝是波峰(或波谷),反射脈衝是波谷(或波峰);

自由末端:當入射脈衝是波峰(或波谷),反射脈衝是波峰(或波谷)。

顯示繩弦上一個指向上的脈衝從左方傳至繩末端時,產生反射的過程。當繩弦的右端為固定時,就是固定末端的情形(在選「固定末端」);當繩弦的右端利用一小圓環套在光滑的直桿上,令其可沿直桿上下滑動,就是自由末端的情形(在選「自由末端」)。結果顯示,當:

  • 固定末端:反射脈衝
    • 產生了
    • 沒有產生
    \(180{}^\circ \) 的相位變化(相對入射脈衝);
  • 自由末端:反射脈衝
    • 產生了
    • 沒有產生
    \(180{}^\circ \) 的相位變化(相對入射脈衝)。

固定末端時,為何會發生 \(180{}^\circ \) 相變呢?脈衝沿繩上傳播時,其前方的繩子被拉起;當脈衝抵達繩末端時,固定的牆之類卻無法被拉起。但根據牛頓第三定律,固定端會對繩施以一個反作用力,所以繩子上產生的反射脈衝為指向下。

自由末端時,您有留意到繩末端的小環會於一瞬升得比原脈衝更高嗎?當脈衝抵達繩末端時,拉起繩子的力令小環向上加速。由於小環的右方再沒繩子給予一個向下的力,小環便因慣性而升得比原脈衝的振幅更高,反過來把繩向上拉,令產生的反射脈衝為指向上。


橫向脈衝在固定末端的反射:當脈衝以波峰形態到達固定末端,經反射後,會以波谷形態向相反方向傳播;當脈衝以波谷形態到達固定末端,經反射後,會以波峰形態向相反方向傳播。
脈衝在固定端與自由端的反射過程
理解脈衝與連續波的末端反射


要了解脈衝於末端反射時的瞬間波形變化,可以想像在繩末端的另一側,好像有另一脈衝從繩末端的後方以反方向傳過來(相對於入射脈衝方向)。對於:

  • 固定末端:從繩末端另一側傳過來的脈衝是 上下顛倒且左右相反 的;
  • 自由末端:從繩末端另一側傳過來的脈衝是 上下同向但左右相反 的。

便以上述技巧顯示脈衝於末端反射時的波形變化。留意當入射脈衝與「來自另一側的脈衝」交會時,兩者的合成波形必定遵循疊加原理。換言之,我們可利用這技巧,便捷地找出繩弦末端於反射過程中,反射脈衝的波形變化。


【連續波的末端反射】
橫波由一連串橫向脈衝組成的。對於連續波於繩弦末端的反射,例如橫波在固定末端被反射時,亦會發生 \(180{}^\circ \) 相變(或稱 \(\pi \) 相變):當入射的是波峰,反射出來的是波谷;當入射的是波谷,反射出來的是波峰。由此可以想像到,在彈簧上傳播的橫波,在固定末端被反射後將如何以相反方向傳播。顯示了含 3 個波列的橫波於繩弦末端的反射前後,留意入射波和反射波的相位變化。另一方面,我們可以推斷:

      反射波的速率 (\(v\))、頻率 (\(f\)) 和波長 (\(\lambda \)) 會
  • 較入射波的大
  • 較入射波的小
  • 與入射波的相同


入射脈衝在固定端(自由端)反射後,會上下顛倒並左右相反(上下不顛倒但左右相反)。我們可想像有一上下顛倒並左右相反(上下不顛倒但左右相反)的脈衝從繩末端的另一側傳過來,與入射脈衝交會時便兩者疊加起來。
橫波在固定端反射時出現 \(180{}^\circ \) 相變;在自由端反射則不會出現。
(您可按這裡使用模擬程式,設定更多不同類別的脈衝/連續波相遇,觀看有關過程)
下一節