第一節 波的疊加
疊加原理


之前曾討論的波動現象,皆只涉及一個脈衝或一列連續波的傳播,然而在實際生活中發生的波動現象中,往往是由兩個或更多的波同時交會或重疊而成的(),造成波形的改變。

最簡單的例子就是,在同一介質裡,如果有兩列波(或兩個脈衝,見)向對方迎面傳播,當兩波相遇時,它們便會開始重疊。可以預期,在發生重疊的範圍內,質點的運動會同時取決於來自兩方的波動。那麼,質點會如何振動呢?從實驗中可觀察到,原來質點在重疊範圍內的振動,可以由波的疊加原理 (principle of superposition) 描述:

幾列波在同一介質內傳播而相遇時:

  1. 相遇範圍內:
  2. 疊加後的質點位移 \(=\) 各波單獨存在時在該點形成位移的矢量和

  3. 相遇後:
  4. 各波各自維持原來的性質(波長、頻率、振動方向等)不變,繼續其原來的傳播方向繼續傳播

故此在,錦鯉激起的脈衝與圓形水波彼此穿過又再分開後,仍能維持以其原本波源為中心的圓形波各自繼續獨立傳播。


錦鯉游出水面時造成的脈衝水波,與池塘中的連續圓形波相遇。
聽音樂會時,從眾多樂器發出的聲波會同時傳到我們的耳朵,而我們往往仍能分辨出各種樂器所演奏的旋律。
要產生兩個相遇的脈衝,可以讓兩位同學分開握住一根軟彈簧的兩端、在地上拉長軟彈簧。接着,兩位同學各自用手同時抖動軟彈簧一下,軟彈簧的兩端便會各產生一個脈衝,在軟彈簧上沿相反方向傳播。(a) 如果兩位同學抖動軟彈簧的方向相同,兩脈衝會同為向上或同為向下;(b) 如果兩位同學抖動軟彈簧的方向相反,兩脈衝會分別在水平的兩側。
脈衝與連續波的疊加


我們不妨觀察相遇脈衝疊加時,合脈衝的波形。顯示了兩脈衝相遇中的某時刻。根據疊加原理,由於合位移的計算乃矢量相加,可知若兩脈衝的:

  • 波形同為向上,合脈衝的位移大小等於兩脈衝的位移量值
    • 相加
    • 相減
  • 波形上下相反,合脈衝的位移大小等於兩脈衝的位移量值
    • 相加
    • 相減

兩波重疊時將組成新的合成波,便顯示了兩迎面脈衝波形皆向上時,以及兩脈衝波形上下相反時的疊加過程。留意兩脈衝在交會重疊期間,質點因疊加現象而造成合位移;合位移隨着兩脈衝的交會而變化,過程中遵循疊加原理。而在相遇之後,兩脈衝便維持其原本波形和傳播速度各自繼續前進,並不會因為曾經相互疊加而發生變化。


至於連續波,當兩波在同一介質中相遇時,在相遇區域內同樣會形成一列合成波;各質點的合位移亦同樣遵循疊加原理。對於頻率與振動方向皆相同、且有固定相位差的兩列相同波形的波疊加時,會造成干涉 (interference),情況便如。留意合成波的振幅可能會大於或小於原有兩波的振幅的,分別稱為相長 (constructive) 和相消干涉 (destructive interference)。在這情況:

相長干涉
當相遇的兩波同相,合成波的振幅會大於原有兩波的振幅;

相消干涉
當相遇的兩波反相,合成波的振幅會小於原有兩波的振幅。


脈衝 1(黃)和脈衝 2(藍)相遇時,兩波形疊加,造成合脈衝(綠)。如圖所示,\({{s}_{1}}\) 和 \({{s}_{2}}\) 分別是脈衝 1 和脈衝 2 於該時刻在某相同位置的位移大小。(a) 當兩脈衝同為向上,合位移大小 \(s\) = \({{s}_{1}}\) + \({{s}_{2}}\);(b) 當兩脈衝上下相反,合位移大小 \(s\) = \(\left| {s}_{1}-{s}_{2} \right|\)
兩脈衝相遇的過程中,形成合脈衝(綠色線),其波形的變化遵循疊加原理。(按這裡可放大顯示本圖)

兩同相(或反相)的連續正弦波疊加時,於某點上的位移-時間關係線圖。當波 A(黃線)和波 B(藍線)相會,視乎兩者的相位差和振幅,疊加後所得合成波(綠線)會表現出不同類別和程度的干涉。(a) 波 A 的振幅較波 B 的大;(b) 波 A 與波 B 的振幅相同時,兩波同相會產生雙倍振幅的波峰或波谷、反相則產生完全抵消的合成波波形。
(您可點擊這裡以動畫演示更多連續波的疊加)
下一節