如所示，小球 A 以初速率 \(4.0\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\) 在桌面以上 1.0 \(\text{m}\) 高的所在被水平拋出。之後，小球會循一條拋物線的路徑運動，最終會落地（抵達桌面）。質量和大小皆與小球 A 相同的小球 B，在同一設置和所處高度被上拋，如所示，初速率同為 \(4.0\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。忽略空氣阻力，試找出小球 A 和小球 B 落地時的速率。（設重力加速度為 \(g\) = \(9.8\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-2}}\)）
【題解】
考慮桌面為參考點。設小球質量為 \(m\)、起初所處高度為 \(h\)、初速率為 \(u\)、抵達桌面時速率為 \(v\)。小球剛拋出時，小球的總能量包含動能和勢能；小球剛抵達桌面時，小球的總能量只包含動能、沒有勢能。由於總能量不變，可寫出：
\(\tfrac{1}{2}m{{u}^{2}}+mgh=\tfrac{1}{2}m{{v}^{2}}+0\)
即 \(v=\sqrt{{{u}^{2}}+2gh}\)。代入 \(u\) = \(4.0\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)、\(h\) = 1.0 \(\text{m}\)，求得 \(v\) = \(6.0\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。
本例的重點為，上方的整套分析和計算，不但適用於小球 A 的平拋情境（），亦同樣適用於小球 B 的上拋情境（）。為何兩情境的設置不一樣，解題卻相同呢？由於以能量方法處理時，無需關注運動的路徑。再者，小球 A 和小球 B 的最初垂直高度和初速率是相同的（兩者都是 1.0 \(\text{m}\) 和 \(4.0\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)），故兩者總能量也是一樣的。當它們抵達桌面時，必定有同等的動能和速率。
一架 500 \(\text{kg}\) 的過山車被鏈條拖到 45 \(\text{m}\) 的最高處。到達最高處時，過山車的速率是零。忽略摩擦力，求 (a) 鏈條要做多少功才能使過山車到達最高處？(b) 過山車跑回 45 \(\text{m}\) 下的地面時，過山車的速率是多少？(c) 當過山車跑到離地面 29 \(\text{m}\) 時，過山車的速率是多少？（設重力加速度為 \(g\) = \(9.8\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-2}}\)）
鏈條對過山車所做的功會轉化為過山車的勢能。過山車獲得的勢能，就是於 45 \(\text{m}\) 高處（點 A）的勢能減去於地面的勢能（設為零）。故鏈條的作功：
\(W=mgh-0=\left( 500\ \text{kg} \right)\left( 9.8\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-2}} \right)\left( 45\ \text{m} \right)=220500\ \text{J}\)
根據能量守恒定律，當過山車跑回 45 \(\text{m}\) 下的地面時，它在 45 \(\text{m}\) 高處獲得的勢能，會全部轉化為動能，即：
\(220500\ \text{J}=\tfrac{1}{2}m{{v}_{gnd}}^{2}\)
代入 \(m\) = 500 \(\text{kg}\) 便求得過山車回到地面的速率 \({{v}_{gnd}}\) = \(30\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。
根據能量守恒，過山車從 \(h\) 跑到離地面 \(d\) = 29 \(\text{m}\) 的高度時（點 B），即其勢能變化爲 \(mg\left( h-d \right)\)。而這勢能變化會全部轉化爲過山車的動能，則有：
\(mg\left( h-d \right)=\tfrac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}\)
代入 \(h-d\) = 16 \(\text{m}\)，求得過山車於點 B 時的速率 \({{v}_{B}}\) = \(17.71\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。
與之前的問題 (c) 類似，但改為當過山車被鏈條拖到 45 \(\text{m}\) 的最高處後，考慮速率並非零、而是 \(4\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。當過山車跑到離地 29 \(\text{m}\) 所在時（點 B），過山車的速率是多少？
【題解】
設符號如中所示。過山車在最高點（點 A）時的機械能，等於過山車在該位置時的動能和勢能之和：\(\tfrac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgh\)。而過山車跑到離地面 \(d\) 的位置（點 B）時，其機械能亦包括動能與勢能：\(\tfrac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mgd\)。由於過山車的總能量守恆，可寫出：
\(\tfrac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgh=\tfrac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mgd\)
即 \({{v}_{B}}\) = \(\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2g\left( h-d \right)}\)。代入 \({{v}_{A}}\) =\(4\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)、\(h-d\) = 16 \(\text{m}\)，運算後求得 \({{v}_{B}}\) =\(18.15\ \text{m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。
