第二節 正功與負功
克服力所作的功


試想像,一件置於粗糙地面上的物體被拖動時,作用於物體上的力會包括:我們施加的拖力、物體的重量、地面給物體的摩擦力和承托力。換言之,對該物體作功的力,除了我們給物體的拖力外,還有摩擦力(重量與承托力垂直於物體位移故不作功)。

作為說明,試考慮在粗糙水平地面上,一傾斜恆力 \(T\) 作用於紙箱上,令紙箱沿地面運動而造成位移 \(s\)(見)。如果 \(T\) 與 \(s\) 之間的角設為 \(\phi \),\(T\) 對紙箱的作功就是 \(Ts\) \(\cos \phi \)。至於摩擦力 \(f\),設其與 \(s\) 之間的角為 \(\theta \)。由於摩擦力跟紙箱運動的方向相反,因此,\(f\) 與位移之間的角度是 \(180^ \circ \)(見)。應用功的表達式:\(W=fs\ \cos \theta \),摩擦力對紙箱的作功便寫成:

      \(W=fs\ \cos \)
  • 180°

換言之,\(W=-fs\)。這表示:\(W\) 
  • =
  • <
  • >
 \(0\)。


在本情境,\(T\) 對紙箱作正功 (\(\because \cos \phi \) > 0)、摩擦力對紙箱作負功 (\(\because \cos \theta \) < 0),後者也可以說成「紙箱克服摩擦力的作功」。留意功的正負並非表示功有方向性,而是反映其令物體能量的增減。綜合而言:

  • 對系統做正功,該系統能量會增加;
  • 對系統做負功,該系統能量會減少。

中摩擦力的作功便會令能量從紙箱轉移往他處。


置於粗糙地面上的紙箱受到一傾斜力 \(T\) 的拉動,令紙箱沿水平方向右移。過程中,紙箱與地面之間出現摩擦力 \(f\)。若 \(T\) 跟 \(s\) 之間和 \(f\) 跟 \(s\) 之間的角分別為 \(\phi \) 和 \(\theta \),\(T\) 與 \(f\) 對紙箱的作功分別是 \(Ts\) \(\cos \phi \) 和 \(fs\) \(\cos \theta \)。這裡紙箱在多個力的共同作用下造成位移,我們稱 \({{W}_{net}}\) = \(Ts\) \(\cos \phi \) + \(fs\) \(\cos \theta \) 是對紙箱所作的淨功,即是淨力對紙箱所作的功
紙箱與地面之間出現的摩擦力 \(f\),其方向相反於紙箱位移 (\(s\)) 的方向,所以兩者之間的夾角 \(\theta \) 等於 \(180{}^\circ \)
例子

水平車道上,一輛行駛中的汽車突然煞車,在路面上滑行了 \(0.7 \text{ m}\) 的距離。假使在煞車過程中,輪胎和地面之間有 \(1300 \text{ N}\) 的恆定摩擦力,過程中摩擦力的作功是多少?

 

【題解】

設 \(f\) 和 \(s\) 分別代表摩擦力與制動過程中的位移,兩者的方向相反,如中所示。摩擦力的作功就是:

\(W=fs\ \cos \theta \)

式中 \(\theta \) 代表 \(f\) 與 \(s\) 之間的夾角。代入數字:

\(W=\left( 1300\ \text{N} \right)\left( 0.7\ \text{m} \right)\cos 180{}^\circ \)

運算後得 \(W\) = \(-910\text{ J}\)。換言之,摩擦力作功的大小為 \(910\text{ J}\)。

汽車煞車時,會受到來自輪胎與地面之間的摩擦力 \(f\)。汽車的制動距離等於 \(s\)
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