第一節功(力與位移非平行)
功的表達式

當作用於物體的力與物體位移的方向並不相同,我們可以先計算力在移動方向上的分量,然後再求功的大小。

假使有一個作用於物體 \(m\) 的恆力 \(F\),對物體在水平方向造成了位移 \(s\),如所示。\(F\) 的方向並非平行於 \(s\),而是與 \(s\) 之間形成夾角 \(\theta \)。由於 \(F\) 可分解為兩個分力:跟 \(s\) 方向平行的分力 \({{F}_{||}}\) 和跟 \(s\) 方向垂直的分力 \({{F}_{\bot }}\)。物體在 \({{F}_{\bot }}\) 方向沒有位移,所以 \({{F}_{\bot }}\) 不作功。只有 \(F\) 在物體位移方向的分量:

       \({{F}_{||}}\) = \(F\)
  • sin θ
  • cos θ


有作功。換言之,\(F\) 對物體所作的功就是 \(W\) = \({{F}_{||}}\) \(s\),即:

\(W=Fs\ \cos \theta \)

注意:當 \(F\) 與 \(s\) 平行,\(\cos{ {0}^{\circ }}=1\),上式變回上一課介紹的 \(W=Fs\)。另上式亦顯示,當 \(F\) 的方向與 \(s\) 互相垂直,\(\cos{ {90}^{\circ }}=0\),得 \(W=0\),表示這情況下 \(F\) 對物體不會作功。

物體 \(m\) 受到力 \(F\) 的作用沿水平方向運動,\(F\) 與位移 \(s\) 之間有夾角 \(\theta \),只有 \(F\) 在物體位移方向的分量有作功
例子

所示,一個人以 \(10 \text{ N}\) 大小、與水平成 \(45^ \circ \) 傾斜角的恆力拉動行李箱,使行李箱沿水平方向移動了 \(2.0 \text{ m}\),求這人的施力對行李箱所作的功。

 

【題解】

設該人的施力與行李箱的位移分別為 \(F\) 和 \(s\),應用功的表達式,\(F\) 的作功就是:

\(W=Fs\ \cos \theta \)

已知 \(F\) = \(10 \text{ N}\)、\(s\) = \(2.0 \text{ m}\)、\(\theta \) = \(45^ \circ \),代入數字後得:

      \(W=\left( 10\ \text{N} \right)\left( 2\ \text{m} \right)\)
  • sin 45°
  • cos 45°
\(=\)
  • 14.1 J
  • 20.0 J
  • 28.3 J
(取 \(3\) 位有效數字)


換言之,這人的施力對行李箱的作功等於 \(14.1\text{ J}\)。正數的功亦表示有能量從該名男子轉移至行李箱處(負數的功會於下一節討論)。

水平地面上,一名男子以 \(10 \text{ N}\) 的傾斜恆力拉動行李箱
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