[興倫智能課堂] 電荷

如果我們有 \(m\) 個點電荷，它們會每隔兩個之間產生相互作用，而點電荷對與點電荷對之間不會互相影響。

對某一個點電荷而言，例如 \({{Q}_{1}}\)，作用在它上面的靜電力便可用合矢量表示：

\(\displaystyle{{{\vec{F}}_{1}}={{\vec{F}}_{12}}+{{\vec{F}}_{13}}+{{\vec{F}}_{14}}+{{\vec{F}}_{15}}+\cdots +{{\vec{F}}_{1m}}}\)

在上式中，\({{\vec{F}}_{12}}\) 就是點電荷 \({{Q}_{2}}\) 與點電荷 \({{Q}_{1}}\) 相互作用時，\({{Q}_{2}}\) 對 \({{Q}_{1}}\) 的作用力。同理，\({{\vec{F}}_{14}}\) 就是 \({{Q}_{4}}\) 對 \({{Q}_{1}}\) 的作用力，如此類推。

換言之，在一個有 \(4\) 顆點電荷的系統內，作用在 \({{Q}_{1}}\)、\({{Q}_{2}}\)、\({{Q}_{3}}\) 和 \({{Q}_{4}}\) 的靜電力可表示為（）：

\(\displaystyle{\begin{align} & {{{\vec{F}}}_{1}}={{{\vec{F}}}_{12}}+{{{\vec{F}}}_{13}}+{{{\vec{F}}}_{14}} \\ & {{{\vec{F}}}_{2}}={{{\vec{F}}}_{21}}+{{{\vec{F}}}_{23}}+{{{\vec{F}}}_{24}} \\ & {{{\vec{F}}}_{3}}={{{\vec{F}}}_{31}}+{{{\vec{F}}}_{32}}+{{{\vec{F}}}_{34}} \\ & {{{\vec{F}}}_{4}}={{{\vec{F}}}_{41}}+{{{\vec{F}}}_{42}}+{{{\vec{F}}}_{43}} \\ \end{align}}\)

概念鞏固

請選擇電荷數目後，用鼠標點擊欲關注的點電荷，可顯示作用在該電荷上的靜電力

【問題 \(1\)】
如圖 \(1a\) 所示，在真空中有兩個正電荷和一個負電荷，\({{Q}_{1}}\)、\({{Q}_{2}}\) 和 \({{Q}_{3}}\) 的電量分別為 \(1 \times 10^{−9} \ \text{C}\)、\(2 \times 10^{−9} \ \text{C}\) 和 \(−1 \times 10^{−9} \ \text{C}\)。試計算作用在 \({{Q}_{2}}\) 的靜電力。

圖 \(1a\)：真空中三個帶不同電量的電荷

【題解】
作用在 \({{Q}_{2}}\) 上，來自 \({{Q}_{1}}\) 的靜電力：

\(\displaystyle{{{F}_{21}}=\frac{1}{4\pi \ {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{1}}\ {{Q}_{2}}}{{{r}^{2}}}}\)
\(\displaystyle{\begin{align} & =\frac{1}{4\pi \ \left( 8.85\times {{10}^{-12}} \right)}\frac{\left( 1\times {{10}^{-9}} \right)\left( 2\times {{10}^{-9}} \right)}{{{\left( 1\times {{10}^{-2}} \right)}^{2}}} \\ & =1.80\times {{10}^{-4}}\ \text{N} \\ \end{align}}\)

由於 \({{Q}_{1}}\) 與 \({{Q}_{2}}\) 均帶正電荷，\({{F}_{21}}\) 是斥力，指向右方。作用在 \({{Q}_{2}}\) 上，來自 \({{Q}_{3}}\) 的靜電力：

\(\displaystyle{{{F}_{23}}=\frac{1}{4\pi \ {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{2}}\ {{Q}_{3}}}{{{r}^{2}}}}\)
\(\displaystyle{\begin{align} & =\frac{1}{4\pi \ \left( 8.85\times {{10}^{-12}} \right)}\frac{\left( 2\times {{10}^{-9}} \right)\left( -1\times {{10}^{-9}} \right)}{{{\left( 1.5\times {{10}^{-2}} \right)}^{2}}} \\ & =-8.00\times {{10}^{-5}}\ \text{N} \\ \end{align}}\)

由於 \({{Q}_{2}}\) 與 \({{Q}_{3}}\) 帶異性電荷，\({{F}_{23}}\) 是吸力，指向右方。

結果顯示 \({{F}_{21}}\) 與 \({{F}_{23}}\) 的方向相同，換言之，作用在 \({{Q}_{2}}\) 的合力 \({{F}_{2}}\) 指向右，大小為：

\(\displaystyle{{{F}_{2}}={{F}_{21}}+{{F}_{23}}}\)
\(\begin{align} & =1.80\times {{10}^{-4}}\ \text{N}+8.00\times {{10}^{-5}}\ \text{N} \\ & =2.60\times {{10}^{-4}}\ \text{N} \\ \end{align}\)

【問題 \(2\)】
如圖 \(1b\) 所示，三個電荷（\({{Q}_{1}}\)、\({{Q}_{2}}\) 和 \({{Q}_{3}}\)）位於同一條直線上，\({{Q}_{1}}\) 與 \({{Q}_{2}}\) 為固定，它們之間的間隔等於 \(d\)。若 \({{Q}_{3}}\) 可自由移動，但處於平衡位置。下列各項敘述中，哪些是正確的？
(1) \({{Q}_{1}}\) 和 \({{Q}_{2}}\) 必為異性電苛；
(2) \({{Q}_{1}}\) 和 \({{Q}_{3}}\) 必為同性電苛；
(3) 若 \({{Q}_{2}}\) 與 \({{Q}_{3}}\) 之間的間隔等於 \(d\)，\({{Q}_{1}}\) 的電荷量是 \({{Q}_{2}}\) 的 \(4\) 倍大小。

圖 \(1b\)：三個電荷位於同一條直線上

【題解】
如右圖所示，設 \({{Q}_{2}}\) 與 \({{Q}_{3}}\) 之間的距離為 \(d\) 的 \(n\) 倍。作用在 \({{Q}_{3}}\) 上，來自 \({{Q}_{1}}\) 的靜電力：

\(\displaystyle{{{F}_{31}}=k\frac{{{Q}_{1}}\ {{Q}_{3}}}{{{\left( n\ d+d \right)}^{2}}}}\)

作用在 \({{Q}_{3}}\) 上，來自 \({{Q}_{2}}\) 的靜電力：

\(\displaystyle{{{F}_{32}}=k\frac{{{Q}_{2}}\ {{Q}_{3}}}{{{\left( n\ d \right)}^{2}}}}\)

若 \({{Q}_{3}}\) 保持平衡，作用在 \({{Q}_{3}}\) 的合力為零，換言之：

\(\displaystyle{\begin{align} & {{F}_{31}}+{{F}_{32}}=0 \\ & k\frac{{{Q}_{1}}\ {{Q}_{3}}}{{{\left( n\ d+d \right)}^{2}}}+k\frac{{{Q}_{2}}\ {{Q}_{3}}}{{{\left( n\ d \right)}^{2}}}=0 \\ & \frac{{{Q}_{1}}}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}+\frac{{{Q}_{2}}}{{{n}^{2}}}=0 \\ \end{align}}\)

\(\displaystyle{{{Q}_{1}}=-{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{2}}{{Q}_{2}}}\) ------------(1)

方程 (1) 的結果顯示，\({{Q}_{1}}\) 和 \({{Q}_{2}}\) 必為異性電荷，而 \({{Q}_{3}}\) 為任意。換言之，敘述 (1) 的內容正確，但敘述 (2) 的內容不正確。

若 \({{Q}_{2}}\) 與 \({{Q}_{3}}\) 之間的間隔等於 \(d\)，即 \(n = 1\)，根據方程 (1)：

\(\displaystyle{{{Q}_{1}}=-{{\left( 1+{1}/{1}\; \right)}^{2}}{{Q}_{2}}}\)

\(\displaystyle{=-4\ {{Q}_{2}}}\)

可知 \({{Q}_{1}}\) 的電荷量是 \({{Q}_{2}}\) 的 \(4\) 倍，敘述 (3) 的內容正確。

綜合以上討論，本題的答案是 \(\text{C}\)。