[興倫智能課堂] 電荷

如何計算電荷之間靜電力的大小呢？

\(1785\) 年，法國物理學家庫倫 (Charles Coulumb, \(1736 — 1806\)) 從實驗結果總結出兩個靜止的點電荷之間，當中靜電力所遵循的基本規律，後來人們稱之為庫倫定律。讓我們考慮真空中的兩個點電荷之間的相互作用力。

當兩個點電荷（分別含電量 \({{Q}_{1}}\) 和 \({{Q}_{2}}\)）之間的距離是 \(r\)（），它們之間的靜電力 (\(F\)) 以庫倫定律的數學式可表達為

\(\displaystyle{F=k\frac{{{Q}_{1}}\ {{Q}_{2}}}{{{r}^{2}}}}\)

式中的 \(k\) 為比例常數，通過實驗測得 \(k = 8.9875 \times 10^{9}\ \text{N}\ {{\text{m}}^{2}}\ {{\text{C}}^{-2}}\)。

兩個點電荷（\({{Q}_{1}}\) 和 \({{Q}_{2}}\)）間的距離為 \(r\)

為了使庫倫定律推導出來的一些常用公式中不出現因數 \(4 \pi \)，科學家引入新的常量 \({{\varepsilon }_{0}}\)，並定義

\(\displaystyle{k=\frac{1}{4\pi \ {{\varepsilon }_{0}}}}\)

於是，真空中的庫倫定律還可寫作

\(\displaystyle{F=\frac{1}{4\pi \ {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{1}}\ {{Q}_{2}}}{{{r}^{2}}}}\)

引入的 \({{\varepsilon }_{0}}\) 稱為真空介電常數，也稱真空的電容率 (permittivity)：

\({{\varepsilon }_{0}}={1}/{\left( 4\pi \ k \right)}\;=8.85\times {{10}^{-12}}\ {{\text{C}}^{2}}\ {{\text{N}}^{-1}}\ {{\text{m}}^{-2}}\)

若電荷並非處於真空而是某介質中，式中的 \({{\varepsilon }_{0}}\) 便要改為該介質的介電常數（）。

概念鞏固

當電荷處於某介質中，例如水，介電常數等於 \(7.08 \times 10^{−10} \ {{\text{C}}^{2}}\ {{\text{N}}^{-1}}\ {{\text{m}}^{-2}}\)

【問題 \(1\)】
在真空中有兩個相距 \(2 \ \text{cm}\) 的正電荷，它們的電量分別為 \(1 \times 10^{−9} \ \text{C}\) 和 \(2 \times 10^{−9} \ \text{C}\)，求它們之間的靜電力。

兩個帶不同電量的同性電荷

【題解】
兩個正電荷之間的靜電力：

\(\displaystyle{F=\frac{1}{4\pi \ {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{1}}\ {{Q}_{2}}}{{{r}^{2}}}}\)
\(\displaystyle{\begin{align} & \text{=}\frac{1}{4\pi \left( 8.85\times {{10}^{-12}} \right)}\frac{\left( 1\times {{10}^{-9}} \right)\left( 2\times {{10}^{-9}} \right)}{{{\left( 2\times {{10}^{-2}} \right)}^{2}}} \\ & =4.50\times {{10}^{-5}}\ \text{N} \\ \end{align}}\)

留意 \({{Q}_{1}}\) 和 \({{Q}_{2}}\) 之間的靜電力是正數，由於兩個電荷均帶正電荷，而電荷同性相斥，所以靜電力 \(F\) 是斥力。

【問題 \(2\)】
在真空中有一個正電荷和一個負電荷相距 \(20 \ \text{cm}\)，它們的電量分別為 \(1 \times 10^{−9} \ \text{C}\) 和 \(−2 \times 10^{−9} \ \text{C}\)，求它們之間的靜電力。

兩個帶不同電量的異性電荷

【題解】
一個正電荷與一個負電荷之間的靜電力：

\(\displaystyle{F=\frac{1}{4\pi \ {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{1}}\ {{Q}_{2}}}{{{r}^{2}}}}\)
\(\displaystyle{\begin{align} & \text{=}\frac{1}{4\pi \left( 8.85\times {{10}^{-12}} \right)}\frac{\left( 1\times {{10}^{-9}} \right)\left( -2\times {{10}^{-9}} \right)}{{{\left( 20\times {{10}^{-2}} \right)}^{2}}} \\ & =-4.50\times {{10}^{-7}}\ \text{N} \\ \end{align}}\)

留意 \({{Q}_{1}}\) 和 \({{Q}_{2}}\) 之間的靜電力是負數，由於 \({{Q}_{1}}\) 帶正電荷、\({{Q}_{2}}\) 帶負電荷，電荷異性相吸，所以靜電力 \(F\) 是吸力。

【題解】
根據庫倫定律，兩個點電荷之間的靜電力，與每個電荷的電量成正比，並與電荷間距的平方成反比（\(F\) 隨 \(1 / r^{2}\) 而改變）。

如果在真空中有兩個電量同為 \(10^{−8} \ \text{C}\) 的正電荷，它們之間的靜電力 (\(F\)) 便會隨間距 (\(r\)) 作右圖所示般改變。