這次三光帶了\(\;10\;\)元的賭本來了一家資本為\(\;1000\;\)元的賭館進行賭博，他決定每局賭\(\;1\;\)元直到贏光或輸光。假如三光每一局都是獨立的且每局贏\(\;1\;\)元與輸\(\;1\;\)元的概率都是\(\;0.5\)，那麼他最後能贏著離開的概率是多少？
同學可以考慮一個數列的相關概率並應用全概率公式求答案；也可以先猜猜答案該是大於\(\;0.5\)、等於\(\;0.5\)、少於\(\;0.5\)，還是無法判斷。
題解：
無論何時，三光和莊家的錢合共\(\; 1010 \;\)元。三光能贏著離開的概率取決於他和莊家的錢的分佈。
我們考慮一個數列\(\;P_0,P_1,\cdots,P_{1010}\)，當中\(\;P_i\;\)為：三光手上賭本為\(\;i\;\)元，莊家賭本為\(\;(1010-i)\;\)元而三光最終能贏光離場的概率。則\(\;P_0=0\;\)(當三光手上賭本為\(\;0\;\)元時，他已輸光)；\(P_{1010}=1\;\)(當三光手上賭本為\(\;1010\;\)元時，他已贏光)；而題目求的就是\(\;P_{10}\)。
當三光手上賭本為\(\; i\;\)元，\(i\;\)非\(\;0\;\)或\(\;1010\)，他會再賭一局。這一局可能贏，也可能輸，根據全概率公式：
\begin{align*}
&P(\mbox{賭本為 } i \mbox{ 元而最終贏光 })\\
=&P(\mbox{賭本為 } i \mbox{ 元而最終贏光 }| \mbox{ 贏下一局})\times P(\mbox{贏下一局}) \\
&+ P(\mbox{賭本為 }i\mbox{ 元而最終贏光 }|\mbox{ 輸下一局})\times P(\mbox{輸下一局})。
\end{align*}
當三光手上賭本為\(\;i\;\)元又了贏下一局，他的賭本就變成\(\;i+1\;\)元，所以
\begin{align*}
&P(\mbox{賭本為 }i\mbox{ 元而最終贏光 } |\mbox{ 贏下一局})\\
=&P(\mbox{賭本為 }i+1\mbox{ 元而最終贏光})\\
=&P_{i+1}；
\end{align*}
同理，當三光手上賭本為\(\;i\;\)元又了輸下一局，他的賭本就變成\(\;i-1\;\)元，所以
\begin{align*}
&P(\mbox{賭本為 }i\mbox{ 元而最終贏光 }|\mbox{ 輸下一局})\\
=&P(\mbox{ 賭本為} \ i-1 \mbox{ 元而最終贏光})\\
=&P_{i-1}。
\end{align*}
我們於是找到數列\(\;P_0,P_1,\cdots P_{1010}\;\)的規律：對於\(\;i=1,2,\cdots, 1009\)，
$$P_{i}=P_{i+1}\times 0.5 +P_{i-1}\times 0.5；$$
也可以重寫作
$$(P_{i+1}-P_{i})\times 0.5 = (P_{i}-P_{i-1})\times 0.5。$$
所以這數列連續項之差是個常數。
現在觀察
\begin{align*}
&\left(P_{1010}-P_{1009}\right)+\left(P_{1009}-P_{1008}\right)+\cdots+\left(P_{1}-P_0\right)\\
=&P_{1010}-P_0，
\end{align*}
由此得知
\begin{align*}
1010\times\left(P_{1}-P_0\right) &= 1-0\\
\left(P_{1}-P_0\right) &= \frac{1}{1010}。
\end{align*}
對於\(\; i=1,2,\cdots, 1009\)，
\begin{align*}
P_{i}-P_0&=\left(P_{i}-P_{i-1}\right)+\cdots+\left(P_{2}-P_{1}\right)+\left(P_{1}-P_0\right)\\
&=i\times \left(P_{1}-P_0\right)\\
&=\frac{i}{1010}。
\end{align*}
題目的答案就是
$$P_{10}=\frac{10}{1010}=\frac{1}{101}。$$
