在圖中，我們以\(\,a \)、\(\,b \,\)和\(\,c \,\)代表\(\,\triangle ABC\,\)三邊的邊長，及\(\,A \)、\(\,B \,\)和\(\,C \,\)代表這三邊的對角。
在下一小節中，我們將證明\(\,\triangle ABC\,\)的面積\(\, \displaystyle \frac{1}{2} ab \sin C\)。
面積\(\, \displaystyle = \frac{1}{2} ab \sin C\)。
這公式也可以寫為：
面積\(\, \displaystyle = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ca \sin B\) 。
請使用互動素材移動數值滑桿，輸入三角形的邊長\(\,b \,\)和\(\,c \,\)及這兩邊的夾角\(\,A \,\)的值。互動素材會根據這些數值繪畫三角形的圖像。請觀察不同的輸入所產生不同的現象。
根據互動素材圖中的三角形完成下表。如有需要，取答案準確至小數後兩個位。
邊長(cm)
|
\(\,A \,\)角(\(\,^\circ\,\)) |
面積(cm\(\,^2\)) |
||
|---|---|---|---|---|
\(\,b (cm)\) |
\(\,c (cm)\) |
|||
1. |
\(\,5\) |
\(\,4\) |
\(\,30\) |
|
2. |
\(\,5\) |
\(\,4\) |
\(\,150\) |
|
3. |
\(\,4\) |
\(\,45\) |
\(\,5.66\) |
|
4. |
\(\,4\) |
\(\,135\) |
\(\,5.66\) |
|
5. |
\(\,3\) |
\(\,4\) |
\(\,6\) |
|
6. |
\(\,4\) |
\(\,2 \sqrt{3}\) |
\(\,6\) |
|
從以上的活動，你能否觀察到例如在上表的第一及第二項：
當\(\,b = 5 cm\)，\(\,c = 5 cm\)， \(\,A= 30^\circ\)或 \(\,150^\circ\)，\(\, \triangle ABC \, \)的面積均是 \(\,5 cm^2\)。
為何兩個不同角度的夾角可使\(\,\triangle ABC\,\)的面積相同？下一節便會作出詳盡的解釋。