假定一筆 \(\displaystyle{ 1 }\) 萬元的本金存入銀行，年利率為 \(\displaystyle{ r }\)，採用複利的方式計息，得到的利息照樣可以繼續生息，經過 \(\displaystyle{ x }\) 年後，\(\displaystyle{ 1 }\) 萬元的本金升值為 \(\displaystyle{ y }\) 萬元，那麼 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 之間的關係可以表示為 \(\displaystyle{y={{\left( 1+r \right)}^{x}} }\)。
銀行的利率通常以年利率為準，但有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。
現改變計息的時限，假定現每半年複利一次，則每次複利的利率也相應的調整為 \(\displaystyle{\frac{r}{2} }\)，那麼 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 之間的關係可以表示為 \(\displaystyle{y={{\left( 1+\frac{r}{2} \right)}^{2x}} }\)；若假定現每季複利一次，則每次複利的利率調整為 \(\displaystyle{\frac{r}{4} }\)，那麼 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{y }\) 之間的關係變為 \(\displaystyle{y={{\left( 1+\frac{r}{4} \right)}^{4x}} }\)；以此類推，假定一年平均分成 \(\displaystyle{ n }\) 段時間，複利 \(\displaystyle{ n }\) 次，則每次複利的利率變為 \(\displaystyle{\frac{r}{n} }\)，那麼 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 之間的關係是甚麼？
假定 \(\displaystyle{ 1 }\) 萬元的本金存入銀行，根據此答案，計算一年後，在不同的複利次數下，本金和利息的總和分別是多少萬元，如表所示。 為方便計算，假定這一年的經濟環境非常好，存入銀行的本金用做高風險投資，年利率達到 \(\displaystyle{ 100\% }\)，即 \(\displaystyle{ r=100\%=1 }\)。
表中的數據表明：計算利息的週期越密，財富增長就越快，但增長速度也越小。 當 \(\displaystyle{ n}\) 越大，即一年被分成更多份時，可以取得的本金加利息的數值將逼近於一個常數，這個常數就是本節要介紹的常數 \(\displaystyle{ e }\)。
| 複利計算時間 (複利次數) |
一年後的本金 | |
|---|---|---|
| 公式 \(\displaystyle{y={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}} }\) | 數值 (保留八位小數) | |
| 每年 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{1} \right)}^{1}} }\) | \(\displaystyle{ 2 }\) |
| 每半年 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{2} \right)}^{2}} }\) | \(\displaystyle{ 2.25 }\) |
| 每季度 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{4} \right)}^{4}} }\) | \(\displaystyle{2.44140625 }\) |
| 每月 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{12}} }\) | \(\displaystyle{ 2.61303529 }\) |
| 每星期 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{52} \right)}^{52}} }\) | \(\displaystyle{ 2.69259695 }\) |
| 每天 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{365} \right)}^{365}} }\) | \(\displaystyle{ 2.71456748 }\) |
| 每小時 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{8760} \right)}^{8760}} }\) | \(\displaystyle{ 2.71812669 }\) |
| 每分 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{525600} \right)}^{525600}} }\) | \(\displaystyle{2.71827924 }\) |
| 每秒 | \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{31536000} \right)}^{31536000}} }\) | \(\displaystyle{ 2.71828179 }\) |
該模擬實驗給出了函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{e}^{x}} }\) 和函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\left( \frac{x}{n}+1 \right)}^{n}} }\) ( \(\displaystyle{ n }\) 為整數) 的圖像。
在模擬實驗的圖像中，共有三類曲線：
移動調節控制項，改變 \(\displaystyle{ n }\) 的值，觀察函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\left( \frac{x}{n}+1 \right)}^{n}} }\) 圖像與函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{e}^{x}} }\) 圖像的位置關係。
模擬實驗的結果表明：
當 \(\displaystyle{ n }\) 為正數時，隨著 \(\displaystyle{ v }\) 值的增加，函數 \(\displaystyle{ g\left( x \right)={{\left( \frac{x}{n}+1 \right)}^{n}} }\) 的圖像不斷向函數 \(\displaystyle{ f\left( x \right)={{e}^{x}} }\) 的圖像靠近；
當 \(\displaystyle{ n }\) 為負數時，隨著 \(\displaystyle{ n }\) 值的減少，函數 \(\displaystyle{ g\left( x \right)={{\left( \frac{x}{n}+1 \right)}^{n}} }\) 的圖像從另一個方向也不斷向函數 \(\displaystyle{ f\left( x \right)={{e}^{x}} }\) 的圖像靠近。
由數學實驗二可知，當 \(\displaystyle{n\to +\infty }\) 或 \(\displaystyle{n\to -\infty }\) 時 （符號 「 \(\displaystyle{ \to }\) 」 表示 「 趨近於 」），函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\left( \frac{x}{n}+1 \right)}^{n}} }\) 的圖像將無限逼近函數的圖像，即 \(\displaystyle{n\to \infty }\) 時，\(\displaystyle{g\left( x \right)=f\left( x \right) }\)。令 \(\displaystyle{ x=1 }\)，等式 \(\displaystyle{g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right) }\)，即 \(\displaystyle{{{\left( \frac{1}{n}+1 \right)}^{n}}=e }\)。數學實驗一中的數據同樣也證實這一點。
定理：\(\displaystyle{n\to \infty }\) 時，\(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{\mathrm{n}}}=\mathrm{e} }\)。
常數 \(\displaystyle{ e }\) 就是通過這個極限產生的。
常 數 \(\displaystyle{ e }\) 是一個數學常數，有時也稱它為歐拉數，以瑞士數學家歐拉 Leonhard Euler 命名。
常數 \(\displaystyle{ e }\) 是由 \(\displaystyle{{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}} }\) 於 \(\displaystyle{n\to \infty }\) 時之極限求得。
計算機中提供了 \(\displaystyle{ e }\) 值的計算按鍵 
，先按數字 \(\displaystyle{1 }\)，再按鍵 ，即可得到 \(\displaystyle{ e }\) 的值。
\(\displaystyle{e=2.718\text{ }281\text{ }828\text{ }459\text{ }045\text{ }235\text{ }360\text{ }287\text{ }471\text{ }352\cdots \cdots }\)
它的小數部份沒有呈現特定的規律，它和常數 \(\displaystyle{\pi }\) 一樣，是個無限不循環小數，不可以表示成分數，它屬於無理數。
常數 \(\displaystyle{ e }\) 也可以表示為這樣一個序列的值 (這個將在無窮級數中介紹)：
\(\displaystyle{e=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{1}{n!}}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{1\times 2\times 3}+\frac{1}{1\times 2\times 3\times 4}+\frac{1}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}+\cdots \cdots }\)
\(\displaystyle{ e }\) 是指數和對數中一個非常重要的底數，在下一節介紹對數時，以 \(\displaystyle{ e }\) 為底的對數被稱為自然對數。
常數 \(\displaystyle{ e }\) 具有廣泛的運用領域和重要意義。常數 \(\displaystyle{ e }\) 在數學的積分學中起著很大作用，就像圓周率 \(\displaystyle{ \pi }\) 在幾何學中的地位。常數 \(\displaystyle{ e }\) 還常用在其他領域中，如歐拉公式、三角函數、雙曲三角函數等。常數 \(\displaystyle{ e }\) 是 「自然律」 的一種量的表達，「自然律」 的形象表達是螺線，對數螺線在自然事物極為普遍的存在形式，如一朵碧湖中輕輕盪開的漣漪；一縷嫋嫋升上藍天的炊煙；數隻緩緩攀援在籬笆上的蝸牛；無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星……對數螺線可以用以 \(\displaystyle{ e }\) 為底的指數來表達，其他螺線與對數螺線有一定的關係。