當一條直線與一個圓相切時，該直線稱為該圓的切線。
直線與圓相切時，交點只有一個。因此，可以根據切線與圓組成的聯立方程所得出的一元二次方程的判別式 \(\displaystyle{\Delta =0 }\) 的這個性質，求切線的方程。
除了此方法之外，有沒有其他方法求圓的切線呢？
右側的模擬程式展示了圓心為 \(\displaystyle{ C }\)，經過任意點 \(\displaystyle{ R }\) 的圓，以及圓上任意一點 \(\displaystyle{ P }\) 處的切線 \(\displaystyle{ L }\)。
移動 \(\displaystyle{ C }\) 點、\(\displaystyle{ R }\) 點，即可改變圓的位置和大小。移動 \(\displaystyle{ P }\) 點，改變切線 \(\displaystyle{ L }\) 的位置，觀察半徑 \(\displaystyle{ CP }\) 所在的直線與切線 \(\displaystyle{ L }\) 的關係，回答以下問題：
半徑 \(\displaystyle{ CP }\) 所在的直線與切線 \(\displaystyle{ L }\) 是否垂直？
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是 |
否 |
半徑 \(\displaystyle{ CP }\) 所在的直線的斜率與切線 \(\displaystyle{ L }\) 的斜率有甚麼關係？ ( 誤差範圍：\(± 0.001\))
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相等 |
乘積為\(1\) |
乘積為 \(\displaystyle{ -1 }\) |
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相乘為 \(\displaystyle{ -2 }\) |
相除為 \(\displaystyle{ -1 }\) |
相除為 \(\displaystyle{ -2 }\) |
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無特定關係 |
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求通過點 \(\displaystyle{\left( 0,4 \right) }\)，且與圓 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+3=0 }\) 相切的切線方程。
解：假設切線的斜率不存在，即該切線為 \(\displaystyle{ x=0}\)。經過檢驗，直線 \(\displaystyle{ x=0 }\) 不與該圓相切，所以假設不成立，即切線的斜率存在。
假設切線的斜率為 \(\displaystyle{ k }\)
\(\displaystyle{ \because }\) 切線通過點 \(\displaystyle{ \left( 0,4 \right) }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 切線的方程為 \(\displaystyle{ y=kx+4 }\)
建立聯立方程：
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & y=kx+4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (1) \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+3=0 \ \ \ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (2) \\ \end{align} \right. }\)
將 (1) 代入 (2) 中，化簡得：
\(\displaystyle{\left( 1+{{k}^{2}} \right){{x}^{2}}+4kx+3=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left( 3 \right) }\)
\(\displaystyle{ \because }\) 直線與圓相切
\(\displaystyle{ \therefore }\) 方程 (3) 只有一個解，即判別式 \(\displaystyle{\Delta =0 }\)
\(\displaystyle{\therefore {{\left( 4k \right)}^{2}}-4\left( 1+{{k}^{2}} \right)\times 3=0 }\)
解得： \(\displaystyle{k=\pm \sqrt{3} }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 該切線方程為 \(\displaystyle{ y=\sqrt{3}x+4 }\) 或 \(\displaystyle{y=-\sqrt{3}x+4 }\)
注意：考慮切線為一條鉛垂線的情況，即斜率不存在的切線。
求圓 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+10x+4y-12=0 }\) 在點 \(\displaystyle{P\left( -1,3 \right) }\) 的切線方程。
解：該圓的圓心 \(\displaystyle{ C }\) 為 \(\displaystyle{\left( -\frac{10}{2},-\frac{4}{2} \right) }\)，即 \(\displaystyle{\left( -5,-2 \right) }\)
\(\displaystyle{ CP }\) 的斜率為 \(\displaystyle{\frac{-2-3}{-5-\left( -1 \right)}=\frac{5}{4} }\)
\(\displaystyle{ \because }\) \(\displaystyle{ CP }\) 與切線互相垂直
\(\displaystyle{ \therefore }\) 切線的斜率為 \(\displaystyle{-\frac{4}{5} }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 切線的方程為 \(\displaystyle{y-3=-\frac{4}{5}\left( x+1 \right) }\)，即 \(\displaystyle{4x+5y-11=0 }\)