某校的\(\;200\;\)名中二級學生參加了數學科考試。他們的分數依循正態分佈，其平均分為\(\;74\)，而標準差為\(\;7\)。

1. 求分數介乎\(\;67\;\)和\(\;81\;\)之間的學生之比例及數目。
2. 若我們隨機選取一名學生，求該名學生的分數介乎\(\;67\;\)和\(\;88\;\)之間的概率。
3. 若這次考試的合格分數為\(\;60\)，求考試合格的學生數目。

提示

看解答

1. 我們有\(\;\bar{x}=74\;\)和\(\;\sigma=7\)。注意 \begin{align*} 67 &= 74 - 7 = \bar{x} - \sigma \\ 81 &= 74 + 7 = \bar{x} + \sigma \end{align*} 所示為目標數據的範圍。所求的學生比例為\(\;68\%\)，而所求的人數為 \[ 200\times 68\% = 136 \]

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2. 注意 \begin{align*} 67 &= 74 - 7 = \bar{x} - \sigma \\ 88 &= 74 + 2\times 7 = \bar{x} + 2\sigma \end{align*} 所示為目標數據的範圍。我們可將這個範圍分成兩部分，分別為介乎\(\;67\;\)和\(\;74\;\)之間的部分及介乎\(\;74\;\)和\(\;88\;\)之間的部分。我們有 \begin{align*} \hbox{分數介乎\(\;67\;\)和\(\;74\;\)之間的學生之百分比} &= 68\% / 2 = 34\% \\ \hbox{分數介乎\(\;74\;\)和\(\;88\;\)之間的學生之百分比} &= 95\% / 2 = 47.5\% \end{align*} 因此，所求的概率為\(\;34\%+47.5\%=81.5\%\)。

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3. 注意 \begin{align*} 60 &= 74 - 2 \times 7 = \bar{x} - 2\sigma \end{align*} 所示為目標數據的範圍。我們可將這個範圍分成兩部分，分別為介乎\(\;60\;\)和\(\;74\;\)之間的部分及大於\(\;74\;\)的部分。我們有 \begin{align*} \hbox{分數介乎\(\;60\;\)和\(\;74\;\)之間的學生之百分比} &= 95\% / 2 = 47.5\% \\ \hbox{分數大於\(\;74\;\)的學生之百分比} &= 50\% \end{align*} 因此，考試合格的學生佔總數的百分比為 \[\hbox{合格學生的百分比} = 47.5\%+50\%=97.5\%\] 數目為 \[ \hbox{合格的學生數目} = 200 \times 97.5\% = 195 \]

香港的救護車服務承諾在接報後\(\;12\;\)分鐘內到達現場。根據過往的統計資料，救護車的到達時間依循正態分佈，平均時間為\(\;8\;\)分鐘，而標準差為\(\;2\;\)分鐘。在某天，救護車無法在承諾時間內到達現場的事故有\(\;50\;\)宗。

1. 求這天內，需要救護車出動的事故之宗數。
2. 求這天內，救護車在\(\;6\;\)至\(\;8\;\)分鐘內到達現場的事故之宗數。
3. 消防署計劃透過重新編配各區的救護車來改善服務。初步研究顯示，該計劃會令新的平均到達時間減少為\(\;7\;\)分鐘，而新標準差為\(\;2.5\;\)分鐘。你認為這個計劃能改善兌現承諾的比例嗎？試解釋你的答案。

提示

看解答

1. 我們有\(\;\bar{x}=8\;\)和\(\;\sigma=2\)。注意 \begin{align*} 12 &= 8 + 2 \times 2 = \bar{x} + 2\sigma \end{align*} 所示為救護車無法兌現承諾之事故出現的範圍，該範圍佔整體事故宗數的 \[ (1-95\%) / 2 = 2.5\% \] 所以，這天的事故宗數為 \[ 50 / 0.025 = 2000 \]

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2. 注意 \begin{align*} 6 &= 8 - 2 = \bar{x} - \sigma \\ 8 &= \bar{x} \end{align*} 所示為目標數據的範圍。該範圍佔整體數據的\(\;34\%\)，因此所求的事故宗數為 \[ 2000 \times 34\% = 680 \]

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3. 要比較在不同數據組中的數據，我們應利用標準分。承諾時間（\(12\;\)分鐘）在現有系統的標準分為\(\;\frac{12-8}{2} = 2\)，而在新計劃的標準分為\(\;\frac{12-7}{2.5}=2\)。標準分在兩個系統中相同，所以新的計劃不能改善兌現承諾的比例。