已知等比數列 \(18 + 6 + 2 + \dotso\)。求首 \(10\) 項及無限項的和。
請在空位中填上適當的答案。
\(T_1 = \)
\(T_2 = \)
\(r = \)\(\qquad r = \displaystyle{\frac{T_2}{T_1}}\)
\(S_n = \displaystyle{\frac{a}{1-r}}\)
\(S_n = \displaystyle{\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}}\)
現在要計算數列首 \(10\) 項的和。
\(\qquad S_{10} = \displaystyle{\frac{18 \times [1 - (\frac{1}{3})^{10}]}{1 - \frac{1}{3}}} = 26.9995\) (準確至小數後 \(4\) 位)。
\(\therefore\ \quad\)數列首 \(10\) 項的和是 \(26.9995\)。
\(S_n = \displaystyle{\frac{a}{1-r}}\)
\(S_n = \displaystyle{\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}}\)
現在要計算數列無限項的和，及公比 \(\left\lvert r\right\rvert \lt 1\)。
\(\qquad S = \displaystyle{\frac{18}{1 - \frac{1}{3}}} = 27\)。
\(\therefore\ \quad\)數列無限項的和是 \(27\)。
設某等比級數首 \(3\) 項的和是 \(148\) 及無限項的和是 \(256\)。求該等比級數的首項及公比的值。
請在空位中填上適當的答案。
首 \(3\) 項的和 \(S_3 = \displaystyle{\frac{a(1 - r^3)}{1 - r}} = \)
無限項的和 \(\;S = \quad\displaystyle{\frac{a}{1 - r}} \quad = \)
現在我們應該採取以下哪一步？
| \(1.\) | 從 \(S_3\) 找 \(a\) | \(S_3\) 有兩個未知數。 |
| \(2.\) | 從 \(S_3\) 找 \(r\) | \(S_3\) 有兩個未知數。 |
| \(3.\) | 從 \(S\) 找 \(a\) | \(S\) 有兩個未知數。 |
| \(4.\) | 從 \(S\) 找\(r\) | \(S\) 有兩個未知數。 |
| \(5.\) | 從 \(S_3\) 及 \(S\)找 \(a\) | 從兩個公式找 \(a\)。 |
| \(6.\) | 從 \(S_3\) 及 \(S\) 找 \(r\) | 從兩個公式找 \(r\)。 |
我們現在試圖找尋 \(r\) 從以下兩個方程式：
\(S_3 = \displaystyle{\frac{a(1 - r^3)}{1 - r}} = 148\)(1)
\(S = \quad \displaystyle{\frac{a}{1 - r}} \;\; \, = 256\)(2)
可將 (1) 寫為
\(S_3 = \) |
\(\displaystyle{\frac{a}{1 - r}}\)\((1 - r^3) = 148\) |
\(= \) |
\(S\)\((1 - r^3) = 148\) |
\(= \) |
\(256\)\((1 - r^3) = 148\) |
\(\therefore \ (1 - r^3) = \) |
\( \displaystyle{\frac{148}{256}} = \displaystyle{\frac{37}{64}}\) |
\(r = \) |
\( \displaystyle{\frac{3}{4}}\) |
從上部已知道 \(r = \displaystyle{\frac{3}{4}}\)，我們現在試圖找尋首項 \(a\) 的值。
代 \(r = \displaystyle{\frac{3}{4}}\) 入 \(S = \displaystyle{\frac{a}{1 - r}} = 256\)，可得
\(\begin{align*} a &= 256 (1 - r) \\ &= 256 (1 - \frac{3}{4}) \\ &= 64\end{align*}\)
\(\therefore\)等比數列的首項是 \(64\) 及公比是 \(\displaystyle{\frac{3}{4}}\)。